Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30423 / 41764
↖ ↑ ↗
← S 44.229456°
W 12.881470°		 ← 437.66 m → S 44.229456°
W 12.875977°		 →
↑
437.69 m
↓
↑
437.69 m
↓
S 44.233393°
W 12.881470°		 ← 437.63 m →
191 553 m²		 S 44.233393°
W 12.875977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464225769042969 y=0.637275695800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464225769042969 × 216)
    floor (0.464225769042969 × 65536)
    floor (30423.5)     		tx = 30423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637275695800781 × 216)
    floor (0.637275695800781 × 65536)
    floor (41764.5)     		ty = 41764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30423 / 41764 ti = "16/30423/41764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30423/41764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30423 ÷ 216
    30423 ÷ 65536     		x = 0.464218139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41764 ÷ 216
    41764 ÷ 65536     		y = 0.63726806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464218139648438 × 2 - 1) × π
    -0.071563720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22482406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63726806640625 × 2 - 1) × π
    -0.2745361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.86248069796405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22482406} λ = -0.22482406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.86248069796405))-π/2
    2×atan(0.422113645966302)-π/2
    2×0.399423341663932-π/2
    0.798846683327864-1.57079632675     		φ = -0.77194964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22482406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.881470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77194964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.229456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30423 KachelY 41764 -0.22482406 -0.77194964 -12.881470 -44.229456
    Oben rechts KachelX + 1 30424 KachelY 41764 -0.22472819 -0.77194964 -12.875977 -44.229456
    Unten links KachelX 30423 KachelY + 1 41765 -0.22482406 -0.77201834 -12.881470 -44.233393
    Unten rechts KachelX + 1 30424 KachelY + 1 41765 -0.22472819 -0.77201834 -12.875977 -44.233393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77194964--0.77201834) × R
    6.87000000000326e-05 × 6371000     		dl = 437.687700000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77194964--0.77201834) × R
    6.87000000000326e-05 × 6371000     		dr = 437.687700000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22482406--0.22472819) × cos(-0.77194964) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.71655209294082 × 6371000     		do = 437.661254936147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22482406--0.22472819) × cos(-0.77201834) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.716504170692819 × 6371000     		du = 437.631984613156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77194964)-sin(-0.77201834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71655209294082-0.716504170692819)×R²
    abs(-0.22472819--0.22482406)×4.79222480017638e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79222480017638e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79222480017638e-05×40589641000000     		ar = 191552.542497232m²