Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30423 / 20491
N 55.742574°
W 12.881470°
← 343.82 m → N 55.742574°
W 12.875977°

343.84 m

343.84 m
N 55.739482°
W 12.881470°
← 343.85 m →
118 225 m²
N 55.739482°
W 12.875977°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464225769042969 y=0.312675476074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464225769042969 × 216)
    floor (0.464225769042969 × 65536)
    floor (30423.5)
    tx = 30423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312675476074219 × 216)
    floor (0.312675476074219 × 65536)
    floor (20491.5)
    ty = 20491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30423 / 20491 ti = "16/30423/20491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30423/20491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30423 ÷ 216
    30423 ÷ 65536
    x = 0.464218139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20491 ÷ 216
    20491 ÷ 65536
    y = 0.312667846679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.464218139648438 × 2 - 1) × π
    -0.071563720703125 × 3.1415926535
    Λ = -0.22482406
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.312667846679688 × 2 - 1) × π
    0.374664306640625 × 3.1415926535
    Φ = 1.17704263327086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22482406} λ = -0.22482406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17704263327086))-π/2
    2×atan(3.2447640422867)-π/2
    2×1.27184388821451-π/2
    2.54368777642902-1.57079632675
    φ = 0.97289145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22482406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.881470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97289145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.742574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30423 KachelY 20491 -0.22482406 0.97289145 -12.881470 55.742574
    Oben rechts KachelX + 1 30424 KachelY 20491 -0.22472819 0.97289145 -12.875977 55.742574
    Unten links KachelX 30423 KachelY + 1 20492 -0.22482406 0.97283748 -12.881470 55.739482
    Unten rechts KachelX + 1 30424 KachelY + 1 20492 -0.22472819 0.97283748 -12.875977 55.739482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.97289145-0.97283748) × R
    5.39699999999588e-05 × 6371000
    dl = 343.842869999737m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.97289145-0.97283748) × R
    5.39699999999588e-05 × 6371000
    dr = 343.842869999737m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22482406--0.22472819) × cos(0.97289145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562912055601031 × 6371000
    do = 343.819799146662m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22482406--0.22472819) × cos(0.97283748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562956661892793 × 6371000
    du = 343.847044124135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.97289145)-sin(0.97283748))×
    abs(λ12)×abs(0.562912055601031-0.562956661892793)×
    abs(-0.22472819--0.22482406)×4.46062917615064e-05×
    9.58699999999979e-05×4.46062917615064e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46062917615064e-05×40589641000000
    ar = 118224.67052561m²