Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30421 / 20177
↖ ↑ ↗
← N 56.701490°
W 12.892456°		 ← 335.36 m → N 56.701490°
W 12.886963°		 →
↑
335.37 m
↓
↑
335.37 m
↓
N 56.698474°
W 12.892456°		 ← 335.38 m →
112 473 m²		 N 56.698474°
W 12.886963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464195251464844 y=0.307884216308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464195251464844 × 216)
    floor (0.464195251464844 × 65536)
    floor (30421.5)     		tx = 30421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307884216308594 × 216)
    floor (0.307884216308594 × 65536)
    floor (20177.5)     		ty = 20177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30421 / 20177 ti = "16/30421/20177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30421/20177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30421 ÷ 216
    30421 ÷ 65536     		x = 0.464187622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20177 ÷ 216
    20177 ÷ 65536     		y = 0.307876586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464187622070312 × 2 - 1) × π
    -0.071624755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22501581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307876586914062 × 2 - 1) × π
    0.384246826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20714700623225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22501581} λ = -0.22501581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20714700623225))-π/2
    2×atan(3.34393081673244)-π/2
    2×1.28021200887406-π/2
    2.56042401774812-1.57079632675     		φ = 0.98962769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22501581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.892456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98962769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.701490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30421 KachelY 20177 -0.22501581 0.98962769 -12.892456 56.701490
    Oben rechts KachelX + 1 30422 KachelY 20177 -0.22491993 0.98962769 -12.886963 56.701490
    Unten links KachelX 30421 KachelY + 1 20178 -0.22501581 0.98957505 -12.892456 56.698474
    Unten rechts KachelX + 1 30422 KachelY + 1 20178 -0.22491993 0.98957505 -12.886963 56.698474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98962769-0.98957505) × R
    5.26399999999372e-05 × 6371000     		dl = 335.3694399996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98962769-0.98957505) × R
    5.26399999999372e-05 × 6371000     		dr = 335.3694399996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22501581--0.22491993) × cos(0.98962769) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.54900108337824 × 6371000     		do = 335.358124303273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22501581--0.22491993) × cos(0.98957505) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.549045080268608 × 6371000     		du = 335.384999868869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98962769)-sin(0.98957505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54900108337824-0.549045080268608)×R²
    abs(-0.22491993--0.22501581)×4.39968903681587e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.39968903681587e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.39968903681587e-05×40589641000000     		ar = 112473.372994462m²