Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30421 / 20172
↖ ↑ ↗
← N 56.716566°
W 12.892456°		 ← 335.22 m → N 56.716566°
W 12.886963°		 →
↑
335.18 m
↓
↑
335.18 m
↓
N 56.713551°
W 12.892456°		 ← 335.25 m →
112 364 m²		 N 56.713551°
W 12.886963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464195251464844 y=0.307807922363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464195251464844 × 216)
    floor (0.464195251464844 × 65536)
    floor (30421.5)     		tx = 30421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307807922363281 × 216)
    floor (0.307807922363281 × 65536)
    floor (20172.5)     		ty = 20172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30421 / 20172 ti = "16/30421/20172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30421/20172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30421 ÷ 216
    30421 ÷ 65536     		x = 0.464187622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20172 ÷ 216
    20172 ÷ 65536     		y = 0.30780029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464187622070312 × 2 - 1) × π
    -0.071624755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22501581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30780029296875 × 2 - 1) × π
    0.3843994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20762637522845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22501581} λ = -0.22501581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20762637522845))-π/2
    2×atan(3.3455341777615)-π/2
    2×1.2803435695637-π/2
    2.56068713912741-1.57079632675     		φ = 0.98989081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22501581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.892456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98989081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.716566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30421 KachelY 20172 -0.22501581 0.98989081 -12.892456 56.716566
    Oben rechts KachelX + 1 30422 KachelY 20172 -0.22491993 0.98989081 -12.886963 56.716566
    Unten links KachelX 30421 KachelY + 1 20173 -0.22501581 0.98983820 -12.892456 56.713551
    Unten rechts KachelX + 1 30422 KachelY + 1 20173 -0.22491993 0.98983820 -12.886963 56.713551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98989081-0.98983820) × R
    5.26100000000085e-05 × 6371000     		dl = 335.178310000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98989081-0.98983820) × R
    5.26100000000085e-05 × 6371000     		dr = 335.178310000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22501581--0.22491993) × cos(0.98989081) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.548781142987144 × 6371000     		do = 335.22377338986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22501581--0.22491993) × cos(0.98983820) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.548825122402193 × 6371000     		du = 335.250638280632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98989081)-sin(0.98983820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548781142987144-0.548825122402193)×R²
    abs(-0.22491993--0.22501581)×4.3979415048967e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.3979415048967e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.3979415048967e-05×40589641000000     		ar = 112364.240127197m²