Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30420 / 41720
↖ ↑ ↗
← S 44.056012°
W 12.897949°		 ← 438.95 m → S 44.056012°
W 12.892456°		 →
↑
438.96 m
↓
↑
438.96 m
↓
S 44.059959°
W 12.897949°		 ← 438.92 m →
192 675 m²		 S 44.059959°
W 12.892456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464179992675781 y=0.636604309082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464179992675781 × 216)
    floor (0.464179992675781 × 65536)
    floor (30420.5)     		tx = 30420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636604309082031 × 216)
    floor (0.636604309082031 × 65536)
    floor (41720.5)     		ty = 41720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30420 / 41720 ti = "16/30420/41720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30420/41720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30420 ÷ 216
    30420 ÷ 65536     		x = 0.46417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41720 ÷ 216
    41720 ÷ 65536     		y = 0.6365966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.0716552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22511168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6365966796875 × 2 - 1) × π
    -0.273193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.858262250797485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22511168} λ = -0.22511168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.858262250797485))-π/2
    2×atan(0.423898071185655)-π/2
    2×0.400936933711971-π/2
    0.801873867423943-1.57079632675     		φ = -0.76892246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22511168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.897949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76892246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.056012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30420 KachelY 41720 -0.22511168 -0.76892246 -12.897949 -44.056012
    Oben rechts KachelX + 1 30421 KachelY 41720 -0.22501581 -0.76892246 -12.892456 -44.056012
    Unten links KachelX 30420 KachelY + 1 41721 -0.22511168 -0.76899136 -12.897949 -44.059959
    Unten rechts KachelX + 1 30421 KachelY + 1 41721 -0.22501581 -0.76899136 -12.892456 -44.059959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76892246--0.76899136) × R
    6.89000000000384e-05 × 6371000     		dl = 438.961900000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76892246--0.76899136) × R
    6.89000000000384e-05 × 6371000     		dr = 438.961900000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22511168--0.22501581) × cos(-0.76892246) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.718660366250526 × 6371000     		do = 438.948962489532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22511168--0.22501581) × cos(-0.76899136) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.718612454154129 × 6371000     		du = 438.919698367018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76892246)-sin(-0.76899136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718660366250526-0.718612454154129)×R²
    abs(-0.22501581--0.22511168)×4.79120963973179e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79120963973179e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79120963973179e-05×40589641000000     		ar = 192675.447736472m²