Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30420 / 20541
↖ ↑ ↗
← N 55.587659°
W 12.897949°		 ← 345.18 m → N 55.587659°
W 12.892456°		 →
↑
345.18 m
↓
↑
345.18 m
↓
N 55.584555°
W 12.897949°		 ← 345.21 m →
119 155 m²		 N 55.584555°
W 12.892456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464179992675781 y=0.313438415527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464179992675781 × 216)
    floor (0.464179992675781 × 65536)
    floor (30420.5)     		tx = 30420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313438415527344 × 216)
    floor (0.313438415527344 × 65536)
    floor (20541.5)     		ty = 20541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30420 / 20541 ti = "16/30420/20541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30420/20541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30420 ÷ 216
    30420 ÷ 65536     		x = 0.46417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20541 ÷ 216
    20541 ÷ 65536     		y = 0.313430786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.0716552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22511168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313430786132812 × 2 - 1) × π
    0.373138427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17224894330885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22511168} λ = -0.22511168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17224894330885))-π/2
    2×atan(3.22924687143587)-π/2
    2×1.27049200055574-π/2
    2.54098400111148-1.57079632675     		φ = 0.97018767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22511168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.897949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97018767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.587659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30420 KachelY 20541 -0.22511168 0.97018767 -12.897949 55.587659
    Oben rechts KachelX + 1 30421 KachelY 20541 -0.22501581 0.97018767 -12.892456 55.587659
    Unten links KachelX 30420 KachelY + 1 20542 -0.22511168 0.97013349 -12.897949 55.584555
    Unten rechts KachelX + 1 30421 KachelY + 1 20542 -0.22501581 0.97013349 -12.892456 55.584555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97018767-0.97013349) × R
    5.41799999999037e-05 × 6371000     		dl = 345.180779999387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97018767-0.97013349) × R
    5.41799999999037e-05 × 6371000     		dr = 345.180779999387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22511168--0.22501581) × cos(0.97018767) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.565144714904508 × 6371000     		do = 345.183480143803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22511168--0.22501581) × cos(0.97013349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.565189412130108 × 6371000     		du = 345.210780662552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97018767)-sin(0.97013349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565144714904508-0.565189412130108)×R²
    abs(-0.22501581--0.22511168)×4.46972255997435e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46972255997435e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46972255997435e-05×40589641000000     		ar = 119155.414755393m²