Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3042 / 5063
↖ ↑ ↗
← S 39.061849°
W 46.318360°		 ← 3 794.25 m → S 39.061849°
W 46.274414°		 →
↑
3 793.29 m
↓
↑
3 793.29 m
↓
S 39.095963°
W 46.318360°		 ← 3 792.41 m →
14 389 211 m²		 S 39.095963°
W 46.274414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37139892578125 y=0.61810302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37139892578125 × 213)
    floor (0.37139892578125 × 8192)
    floor (3042.5)     		tx = 3042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61810302734375 × 213)
    floor (0.61810302734375 × 8192)
    floor (5063.5)     		ty = 5063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3042 / 5063 ti = "13/3042/5063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3042/5063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3042 ÷ 213
    3042 ÷ 8192     		x = 0.371337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5063 ÷ 213
    5063 ÷ 8192     		y = 0.6180419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.25732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80840788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6180419921875 × 2 - 1) × π
    -0.236083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.741679710921509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80840788} λ = -0.80840788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.741679710921509))-π/2
    2×atan(0.476313174761099)-π/2
    2×0.444519223750336-π/2
    0.889038447500673-1.57079632675     		φ = -0.68175788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80840788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.318360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68175788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.061849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3042 KachelY 5063 -0.80840788 -0.68175788 -46.318360 -39.061849
    Oben rechts KachelX + 1 3043 KachelY 5063 -0.80764088 -0.68175788 -46.274414 -39.061849
    Unten links KachelX 3042 KachelY + 1 5064 -0.80840788 -0.68235328 -46.318360 -39.095963
    Unten rechts KachelX + 1 3043 KachelY + 1 5064 -0.80764088 -0.68235328 -46.274414 -39.095963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68175788--0.68235328) × R
    0.000595399999999913 × 6371000     		dl = 3793.29339999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68175788--0.68235328) × R
    0.000595399999999913 × 6371000     		dr = 3793.29339999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80840788--0.80764088) × cos(-0.68175788) × R
    0.000766999999999962 × 0.776466175234358 × 6371000     		do = 3794.24622385449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80840788--0.80764088) × cos(-0.68235328) × R
    0.000766999999999962 × 0.776090840999745 × 6371000     		du = 3792.41213172301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68175788)-sin(-0.68235328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776466175234358-0.776090840999745)×R²
    abs(-0.80764088--0.80840788)×0.000375334234613223×R²
    0.000766999999999962×0.000375334234613223×6371000²
    0.000766999999999962×0.000375334234613223×40589641000000     		ar = 14389210.9592122m²