Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30419 / 20539
↖ ↑ ↗
← N 55.593867°
W 12.903442°		 ← 345.13 m → N 55.593867°
W 12.897949°		 →
↑
345.18 m
↓
↑
345.18 m
↓
N 55.590763°
W 12.903442°		 ← 345.16 m →
119 137 m²		 N 55.590763°
W 12.897949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464164733886719 y=0.313407897949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464164733886719 × 216)
    floor (0.464164733886719 × 65536)
    floor (30419.5)     		tx = 30419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313407897949219 × 216)
    floor (0.313407897949219 × 65536)
    floor (20539.5)     		ty = 20539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30419 / 20539 ti = "16/30419/20539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30419/20539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30419 ÷ 216
    30419 ÷ 65536     		x = 0.464157104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20539 ÷ 216
    20539 ÷ 65536     		y = 0.313400268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464157104492188 × 2 - 1) × π
    -0.071685791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22520755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313400268554688 × 2 - 1) × π
    0.373199462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17244069090733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22520755} λ = -0.22520755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17244069090733))-π/2
    2×atan(3.22986613113725)-π/2
    2×1.27054617884088-π/2
    2.54109235768176-1.57079632675     		φ = 0.97029603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22520755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.903442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97029603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.593867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30419 KachelY 20539 -0.22520755 0.97029603 -12.903442 55.593867
    Oben rechts KachelX + 1 30420 KachelY 20539 -0.22511168 0.97029603 -12.897949 55.593867
    Unten links KachelX 30419 KachelY + 1 20540 -0.22520755 0.97024185 -12.903442 55.590763
    Unten rechts KachelX + 1 30420 KachelY + 1 20540 -0.22511168 0.97024185 -12.897949 55.590763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97029603-0.97024185) × R
    5.41800000000148e-05 × 6371000     		dl = 345.180780000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97029603-0.97024185) × R
    5.41800000000148e-05 × 6371000     		dr = 345.180780000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22520755--0.22511168) × cos(0.97029603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.56505531547654 × 6371000     		do = 345.128876066554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22520755--0.22511168) × cos(0.97024185) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.565100016019942 × 6371000     		du = 345.156178611777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97029603)-sin(0.97024185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56505531547654-0.565100016019942)×R²
    abs(-0.22511168--0.22520755)×4.47005434019987e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47005434019987e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47005434019987e-05×40589641000000     		ar = 119136.566827278m²