Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30418 / 20537
↖ ↑ ↗
← N 55.600075°
W 12.908936°		 ← 345.11 m → N 55.600075°
W 12.903442°		 →
↑
345.12 m
↓
↑
345.12 m
↓
N 55.596971°
W 12.908936°		 ← 345.14 m →
119 108 m²		 N 55.596971°
W 12.903442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464149475097656 y=0.313377380371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464149475097656 × 216)
    floor (0.464149475097656 × 65536)
    floor (30418.5)     		tx = 30418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313377380371094 × 216)
    floor (0.313377380371094 × 65536)
    floor (20537.5)     		ty = 20537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30418 / 20537 ti = "16/30418/20537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30418/20537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30418 ÷ 216
    30418 ÷ 65536     		x = 0.464141845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20537 ÷ 216
    20537 ÷ 65536     		y = 0.313369750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.07171630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22530343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313369750976562 × 2 - 1) × π
    0.373260498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17263243850581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22530343} λ = -0.22530343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17263243850581))-π/2
    2×atan(3.23048550959157)-π/2
    2×1.27060034855559-π/2
    2.54120069711118-1.57079632675     		φ = 0.97040437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22530343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.908936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97040437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.600075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30418 KachelY 20537 -0.22530343 0.97040437 -12.908936 55.600075
    Oben rechts KachelX + 1 30419 KachelY 20537 -0.22520755 0.97040437 -12.903442 55.600075
    Unten links KachelX 30418 KachelY + 1 20538 -0.22530343 0.97035020 -12.908936 55.596971
    Unten rechts KachelX + 1 30419 KachelY + 1 20538 -0.22520755 0.97035020 -12.903442 55.596971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97040437-0.97035020) × R
    5.41699999999645e-05 × 6371000     		dl = 345.117069999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97040437-0.97035020) × R
    5.41699999999645e-05 × 6371000     		dr = 345.117069999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22530343--0.22520755) × cos(0.97040437) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.564965925916039 × 6371000     		do = 345.110271995356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22530343--0.22520755) × cos(0.97035020) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.56501062152527 × 6371000     		du = 345.137574374404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97040437)-sin(0.97035020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564965925916039-0.56501062152527)×R²
    abs(-0.22520755--0.22530343)×4.46956092308159e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.46956092308159e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.46956092308159e-05×40589641000000     		ar = 119108.157185619m²