Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30416 / 20534
↖ ↑ ↗
← N 55.609384°
W 12.919922°		 ← 345.03 m → N 55.609384°
W 12.914429°		 →
↑
345.05 m
↓
↑
345.05 m
↓
N 55.606281°
W 12.919922°		 ← 345.06 m →
119 058 m²		 N 55.606281°
W 12.914429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464118957519531 y=0.313331604003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464118957519531 × 216)
    floor (0.464118957519531 × 65536)
    floor (30416.5)     		tx = 30416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313331604003906 × 216)
    floor (0.313331604003906 × 65536)
    floor (20534.5)     		ty = 20534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30416 / 20534 ti = "16/30416/20534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30416/20534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30416 ÷ 216
    30416 ÷ 65536     		x = 0.464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20534 ÷ 216
    20534 ÷ 65536     		y = 0.313323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.07177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22549518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313323974609375 × 2 - 1) × π
    0.37335205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17292005990353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22549518} λ = -0.22549518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17292005990353))-π/2
    2×atan(3.23141479998465)-π/2
    2×1.27068158705967-π/2
    2.54136317411934-1.57079632675     		φ = 0.97056685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22549518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97056685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.609384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30416 KachelY 20534 -0.22549518 0.97056685 -12.919922 55.609384
    Oben rechts KachelX + 1 30417 KachelY 20534 -0.22539930 0.97056685 -12.914429 55.609384
    Unten links KachelX 30416 KachelY + 1 20535 -0.22549518 0.97051269 -12.919922 55.606281
    Unten rechts KachelX + 1 30417 KachelY + 1 20535 -0.22539930 0.97051269 -12.914429 55.606281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97056685-0.97051269) × R
    5.41600000000253e-05 × 6371000     		dl = 345.053360000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97056685-0.97051269) × R
    5.41600000000253e-05 × 6371000     		dr = 345.053360000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22549518--0.22539930) × cos(0.97056685) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.564831853898073 × 6371000     		do = 345.028373904755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22549518--0.22539930) × cos(0.97051269) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.564876546227728 × 6371000     		du = 345.055674280469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97056685)-sin(0.97051269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564831853898073-0.564876546227728)×R²
    abs(-0.22539930--0.22549518)×4.46923296544277e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.46923296544277e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.46923296544277e-05×40589641000000     		ar = 119057.909783589m²