Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30416 / 16432
↖ ↑ ↗
← N 66.407955°
W 12.919922°		 ← 244.48 m → N 66.407955°
W 12.914429°		 →
↑
244.46 m
↓
↑
244.46 m
↓
N 66.405757°
W 12.919922°		 ← 244.50 m →
59 766 m²		 N 66.405757°
W 12.914429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464118957519531 y=0.250740051269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464118957519531 × 216)
    floor (0.464118957519531 × 65536)
    floor (30416.5)     		tx = 30416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250740051269531 × 216)
    floor (0.250740051269531 × 65536)
    floor (16432.5)     		ty = 16432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30416 / 16432 ti = "16/30416/16432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30416/16432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30416 ÷ 216
    30416 ÷ 65536     		x = 0.464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16432 ÷ 216
    16432 ÷ 65536     		y = 0.250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.07177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22549518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250732421875 × 2 - 1) × π
    0.49853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.56619438438647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22549518} λ = -0.22549518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56619438438647))-π/2
    2×atan(4.78839070089504)-π/2
    2×1.36491689970855-π/2
    2.7298337994171-1.57079632675     		φ = 1.15903747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22549518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15903747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.407955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30416 KachelY 16432 -0.22549518 1.15903747 -12.919922 66.407955
    Oben rechts KachelX + 1 30417 KachelY 16432 -0.22539930 1.15903747 -12.914429 66.407955
    Unten links KachelX 30416 KachelY + 1 16433 -0.22549518 1.15899910 -12.919922 66.405757
    Unten rechts KachelX + 1 30417 KachelY + 1 16433 -0.22539930 1.15899910 -12.914429 66.405757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15903747-1.15899910) × R
    3.83699999999543e-05 × 6371000     		dl = 244.455269999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15903747-1.15899910) × R
    3.83699999999543e-05 × 6371000     		dr = 244.455269999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22549518--0.22539930) × cos(1.15903747) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.400221794779465 × 6371000     		do = 244.476075669274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22549518--0.22539930) × cos(1.15899910) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.400256957455314 × 6371000     		du = 244.497554841857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15903747)-sin(1.15899910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400221794779465-0.400256957455314)×R²
    abs(-0.22539930--0.22549518)×3.51626758492984e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.51626758492984e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.51626758492984e-05×40589641000000     		ar = 59766.0904418506m²