Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30416 / 13263
↖ ↑ ↗
← N 72.476931°
W 12.919922°		 ← 183.92 m → N 72.476931°
W 12.914429°		 →
↑
183.93 m
↓
↑
183.93 m
↓
N 72.475276°
W 12.919922°		 ← 183.94 m →
33 830 m²		 N 72.475276°
W 12.914429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464118957519531 y=0.202384948730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464118957519531 × 216)
    floor (0.464118957519531 × 65536)
    floor (30416.5)     		tx = 30416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202384948730469 × 216)
    floor (0.202384948730469 × 65536)
    floor (13263.5)     		ty = 13263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30416 / 13263 ti = "16/30416/13263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30416/13263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30416 ÷ 216
    30416 ÷ 65536     		x = 0.464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13263 ÷ 216
    13263 ÷ 65536     		y = 0.202377319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.07177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22549518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.202377319335938 × 2 - 1) × π
    0.595245361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.87001845417839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22549518} λ = -0.22549518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87001845417839))-π/2
    2×atan(6.48841613657074)-π/2
    2×1.41787869631902-π/2
    2.83575739263803-1.57079632675     		φ = 1.26496107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22549518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26496107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.476931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30416 KachelY 13263 -0.22549518 1.26496107 -12.919922 72.476931
    Oben rechts KachelX + 1 30417 KachelY 13263 -0.22539930 1.26496107 -12.914429 72.476931
    Unten links KachelX 30416 KachelY + 1 13264 -0.22549518 1.26493220 -12.919922 72.475276
    Unten rechts KachelX + 1 30417 KachelY + 1 13264 -0.22539930 1.26493220 -12.914429 72.475276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26496107-1.26493220) × R
    2.88699999999587e-05 × 6371000     		dl = 183.930769999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26496107-1.26493220) × R
    2.88699999999587e-05 × 6371000     		dr = 183.930769999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22549518--0.22539930) × cos(1.26496107) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.301089777514699 × 6371000     		do = 183.921136207711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22549518--0.22539930) × cos(1.26493220) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.301117307699907 × 6371000     		du = 183.937953062089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26496107)-sin(1.26493220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301089777514699-0.301117307699907)×R²
    abs(-0.22539930--0.22549518)×2.75301852073473e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.75301852073473e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.75301852073473e-05×40589641000000     		ar = 33830.302773037m²