Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30415 / 41711
↖ ↑ ↗
← S 44.020472°
W 12.925415°		 ← 439.21 m → S 44.020472°
W 12.919922°		 →
↑
439.22 m
↓
↑
439.22 m
↓
S 44.024422°
W 12.925415°		 ← 439.18 m →
192 903 m²		 S 44.024422°
W 12.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464103698730469 y=0.636466979980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464103698730469 × 216)
    floor (0.464103698730469 × 65536)
    floor (30415.5)     		tx = 30415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636466979980469 × 216)
    floor (0.636466979980469 × 65536)
    floor (41711.5)     		ty = 41711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30415 / 41711 ti = "16/30415/41711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30415/41711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30415 ÷ 216
    30415 ÷ 65536     		x = 0.464096069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41711 ÷ 216
    41711 ÷ 65536     		y = 0.636459350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464096069335938 × 2 - 1) × π
    -0.071807861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22559105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636459350585938 × 2 - 1) × π
    -0.272918701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.857399386604324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22559105} λ = -0.22559105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.857399386604324))-π/2
    2×atan(0.424263995501622)-π/2
    2×0.401247079875727-π/2
    0.802494159751454-1.57079632675     		φ = -0.76830217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22559105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.925415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76830217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.020472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30415 KachelY 41711 -0.22559105 -0.76830217 -12.925415 -44.020472
    Oben rechts KachelX + 1 30416 KachelY 41711 -0.22549518 -0.76830217 -12.919922 -44.020472
    Unten links KachelX 30415 KachelY + 1 41712 -0.22559105 -0.76837111 -12.925415 -44.024422
    Unten rechts KachelX + 1 30416 KachelY + 1 41712 -0.22549518 -0.76837111 -12.919922 -44.024422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76830217--0.76837111) × R
    6.89400000000173e-05 × 6371000     		dl = 439.21674000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76830217--0.76837111) × R
    6.89400000000173e-05 × 6371000     		dr = 439.21674000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22559105--0.22549518) × cos(-0.76830217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.719091553601317 × 6371000     		do = 439.212326449974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22559105--0.22549518) × cos(-0.76837111) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.719043644428608 × 6371000     		du = 439.183064113213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76830217)-sin(-0.76837111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719091553601317-0.719043644428608)×R²
    abs(-0.22549518--0.22559105)×4.79091727089154e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79091727089154e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79091727089154e-05×40589641000000     		ar = 192902.980013371m²