Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30415 / 16675
↖ ↑ ↗
← N 65.867988°
W 12.925415°		 ← 249.71 m → N 65.867988°
W 12.919922°		 →
↑
249.74 m
↓
↑
249.74 m
↓
N 65.865742°
W 12.925415°		 ← 249.74 m →
62 367 m²		 N 65.865742°
W 12.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464103698730469 y=0.254447937011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464103698730469 × 216)
    floor (0.464103698730469 × 65536)
    floor (30415.5)     		tx = 30415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254447937011719 × 216)
    floor (0.254447937011719 × 65536)
    floor (16675.5)     		ty = 16675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30415 / 16675 ti = "16/30415/16675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30415/16675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30415 ÷ 216
    30415 ÷ 65536     		x = 0.464096069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16675 ÷ 216
    16675 ÷ 65536     		y = 0.254440307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464096069335938 × 2 - 1) × π
    -0.071807861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22559105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254440307617188 × 2 - 1) × π
    0.491119384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.54289705117113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22559105} λ = -0.22559105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54289705117113))-π/2
    2×atan(4.67812342134486)-π/2
    2×1.36020479515609-π/2
    2.72040959031218-1.57079632675     		φ = 1.14961326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22559105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.925415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14961326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.867988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30415 KachelY 16675 -0.22559105 1.14961326 -12.925415 65.867988
    Oben rechts KachelX + 1 30416 KachelY 16675 -0.22549518 1.14961326 -12.919922 65.867988
    Unten links KachelX 30415 KachelY + 1 16676 -0.22559105 1.14957406 -12.925415 65.865742
    Unten rechts KachelX + 1 30416 KachelY + 1 16676 -0.22549518 1.14957406 -12.919922 65.865742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14961326-1.14957406) × R
    3.9200000000017e-05 × 6371000     		dl = 249.743200000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14961326-1.14957406) × R
    3.9200000000017e-05 × 6371000     		dr = 249.743200000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22559105--0.22549518) × cos(1.14961326) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408840412653325 × 6371000     		do = 249.714723930399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22559105--0.22549518) × cos(1.14957406) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408876186490223 × 6371000     		du = 249.736574152462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14961326)-sin(1.14957406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408840412653325-0.408876186490223)×R²
    abs(-0.22549518--0.22559105)×3.57738368985672e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57738368985672e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57738368985672e-05×40589641000000     		ar = 62367.2827219164m²