Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30414 / 41722
↖ ↑ ↗
← S 44.063907°
W 12.930908°		 ← 438.89 m → S 44.063907°
W 12.925415°		 →
↑
438.90 m
↓
↑
438.90 m
↓
S 44.067854°
W 12.930908°		 ← 438.86 m →
192 622 m²		 S 44.067854°
W 12.925415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464088439941406 y=0.636634826660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464088439941406 × 216)
    floor (0.464088439941406 × 65536)
    floor (30414.5)     		tx = 30414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636634826660156 × 216)
    floor (0.636634826660156 × 65536)
    floor (41722.5)     		ty = 41722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30414 / 41722 ti = "16/30414/41722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30414/41722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30414 ÷ 216
    30414 ÷ 65536     		x = 0.464080810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41722 ÷ 216
    41722 ÷ 65536     		y = 0.636627197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464080810546875 × 2 - 1) × π
    -0.07183837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22568692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636627197265625 × 2 - 1) × π
    -0.27325439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.858453998395966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22568692} λ = -0.22568692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.858453998395966))-π/2
    2×atan(0.423816797540767)-π/2
    2×0.400868037605665-π/2
    0.801736075211331-1.57079632675     		φ = -0.76906025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22568692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.930908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76906025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.063907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30414 KachelY 41722 -0.22568692 -0.76906025 -12.930908 -44.063907
    Oben rechts KachelX + 1 30415 KachelY 41722 -0.22559105 -0.76906025 -12.925415 -44.063907
    Unten links KachelX 30414 KachelY + 1 41723 -0.22568692 -0.76912914 -12.930908 -44.067854
    Unten rechts KachelX + 1 30415 KachelY + 1 41723 -0.22559105 -0.76912914 -12.925415 -44.067854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76906025--0.76912914) × R
    6.88899999999881e-05 × 6371000     		dl = 438.898189999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76906025--0.76912914) × R
    6.88899999999881e-05 × 6371000     		dr = 438.898189999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22568692--0.22559105) × cos(-0.76906025) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.71856454560093 × 6371000     		do = 438.890436408773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22568692--0.22559105) × cos(-0.76912914) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.718516633637544 × 6371000     		du = 438.8611723675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76906025)-sin(-0.76912914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71856454560093-0.718516633637544)×R²
    abs(-0.22559105--0.22568692)×4.79119633853831e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.79119633853831e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.79119633853831e-05×40589641000000     		ar = 192621.796257179m²