Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30414 / 20182
↖ ↑ ↗
← N 56.686408°
W 12.930908°		 ← 335.46 m → N 56.686408°
W 12.925415°		 →
↑
335.43 m
↓
↑
335.43 m
↓
N 56.683391°
W 12.930908°		 ← 335.48 m →
112 528 m²		 N 56.683391°
W 12.925415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464088439941406 y=0.307960510253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464088439941406 × 216)
    floor (0.464088439941406 × 65536)
    floor (30414.5)     		tx = 30414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307960510253906 × 216)
    floor (0.307960510253906 × 65536)
    floor (20182.5)     		ty = 20182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30414 / 20182 ti = "16/30414/20182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30414/20182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30414 ÷ 216
    30414 ÷ 65536     		x = 0.464080810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20182 ÷ 216
    20182 ÷ 65536     		y = 0.307952880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464080810546875 × 2 - 1) × π
    -0.07183837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22568692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307952880859375 × 2 - 1) × π
    0.38409423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20666763723605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22568692} λ = -0.22568692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20666763723605))-π/2
    2×atan(3.34232822412075)-π/2
    2×1.28008039546183-π/2
    2.56016079092366-1.57079632675     		φ = 0.98936446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22568692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.930908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98936446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.686408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30414 KachelY 20182 -0.22568692 0.98936446 -12.930908 56.686408
    Oben rechts KachelX + 1 30415 KachelY 20182 -0.22559105 0.98936446 -12.925415 56.686408
    Unten links KachelX 30414 KachelY + 1 20183 -0.22568692 0.98931181 -12.930908 56.683391
    Unten rechts KachelX + 1 30415 KachelY + 1 20183 -0.22559105 0.98931181 -12.925415 56.683391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98936446-0.98931181) × R
    5.26499999999874e-05 × 6371000     		dl = 335.43314999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98936446-0.98931181) × R
    5.26499999999874e-05 × 6371000     		dr = 335.43314999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22568692--0.22559105) × cos(0.98936446) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.549221077685303 × 6371000     		do = 335.457517276493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22568692--0.22559105) × cos(0.98931181) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.54926507532313 × 6371000     		du = 335.484390495586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98936446)-sin(0.98931181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549221077685303-0.54926507532313)×R²
    abs(-0.22559105--0.22568692)×4.39976378274753e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.39976378274753e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.39976378274753e-05×40589641000000     		ar = 112528.078821495m²