Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30414 / 20164
↖ ↑ ↗
← N 56.740675°
W 12.930908°		 ← 334.97 m → N 56.740675°
W 12.925415°		 →
↑
334.99 m
↓
↑
334.99 m
↓
N 56.737662°
W 12.930908°		 ← 335 m →
112 216 m²		 N 56.737662°
W 12.925415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464088439941406 y=0.307685852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464088439941406 × 216)
    floor (0.464088439941406 × 65536)
    floor (30414.5)     		tx = 30414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307685852050781 × 216)
    floor (0.307685852050781 × 65536)
    floor (20164.5)     		ty = 20164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30414 / 20164 ti = "16/30414/20164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30414/20164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30414 ÷ 216
    30414 ÷ 65536     		x = 0.464080810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20164 ÷ 216
    20164 ÷ 65536     		y = 0.30767822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464080810546875 × 2 - 1) × π
    -0.07183837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22568692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30767822265625 × 2 - 1) × π
    0.3846435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20839336562238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22568692} λ = -0.22568692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20839336562238))-π/2
    2×atan(3.34810115463584)-π/2
    2×1.28055395703415-π/2
    2.5611079140683-1.57079632675     		φ = 0.99031159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22568692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.930908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99031159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.740675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30414 KachelY 20164 -0.22568692 0.99031159 -12.930908 56.740675
    Oben rechts KachelX + 1 30415 KachelY 20164 -0.22559105 0.99031159 -12.925415 56.740675
    Unten links KachelX 30414 KachelY + 1 20165 -0.22568692 0.99025901 -12.930908 56.737662
    Unten rechts KachelX + 1 30415 KachelY + 1 20165 -0.22559105 0.99025901 -12.925415 56.737662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99031159-0.99025901) × R
    5.25799999999688e-05 × 6371000     		dl = 334.987179999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99031159-0.99025901) × R
    5.25799999999688e-05 × 6371000     		dr = 334.987179999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22568692--0.22559105) × cos(0.99031159) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.54842933661544 × 6371000     		do = 334.973931514014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22568692--0.22559105) × cos(0.99025901) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.548473303090538 × 6371000     		du = 335.000785699293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99031159)-sin(0.99025901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54842933661544-0.548473303090538)×R²
    abs(-0.22559105--0.22568692)×4.39664750977453e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.39664750977453e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.39664750977453e-05×40589641000000     		ar = 112216.470621111m²