Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30414 / 16462
↖ ↑ ↗
← N 66.341914°
W 12.930908°		 ← 245.10 m → N 66.341914°
W 12.925415°		 →
↑
245.09 m
↓
↑
245.09 m
↓
N 66.339710°
W 12.930908°		 ← 245.12 m →
60 074 m²		 N 66.339710°
W 12.925415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464088439941406 y=0.251197814941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464088439941406 × 216)
    floor (0.464088439941406 × 65536)
    floor (30414.5)     		tx = 30414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251197814941406 × 216)
    floor (0.251197814941406 × 65536)
    floor (16462.5)     		ty = 16462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30414 / 16462 ti = "16/30414/16462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30414/16462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30414 ÷ 216
    30414 ÷ 65536     		x = 0.464080810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16462 ÷ 216
    16462 ÷ 65536     		y = 0.251190185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464080810546875 × 2 - 1) × π
    -0.07183837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22568692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.251190185546875 × 2 - 1) × π
    0.49761962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.56331817040927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22568692} λ = -0.22568692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56331817040927))-π/2
    2×atan(4.7746380518943)-π/2
    2×1.36434057887538-π/2
    2.72868115775076-1.57079632675     		φ = 1.15788483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22568692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.930908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15788483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.341914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30414 KachelY 16462 -0.22568692 1.15788483 -12.930908 66.341914
    Oben rechts KachelX + 1 30415 KachelY 16462 -0.22559105 1.15788483 -12.925415 66.341914
    Unten links KachelX 30414 KachelY + 1 16463 -0.22568692 1.15784636 -12.930908 66.339710
    Unten rechts KachelX + 1 30415 KachelY + 1 16463 -0.22559105 1.15784636 -12.925415 66.339710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15788483-1.15784636) × R
    3.84700000000127e-05 × 6371000     		dl = 245.092370000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15788483-1.15784636) × R
    3.84700000000127e-05 × 6371000     		dr = 245.092370000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22568692--0.22559105) × cos(1.15788483) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.401277829080841 × 6371000     		do = 245.095590374794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22568692--0.22559105) × cos(1.15784636) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.401313065626128 × 6371000     		du = 245.117112425712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15788483)-sin(1.15784636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401277829080841-0.401313065626128)×R²
    abs(-0.22559105--0.22568692)×3.52365452864767e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.52365452864767e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.52365452864767e-05×40589641000000     		ar = 60073.6965744306m²