Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30414 / 16379
↖ ↑ ↗
← N 66.524204°
W 12.930908°		 ← 243.31 m → N 66.524204°
W 12.925415°		 →
↑
243.37 m
↓
↑
243.37 m
↓
N 66.522016°
W 12.930908°		 ← 243.34 m →
59 219 m²		 N 66.522016°
W 12.925415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464088439941406 y=0.249931335449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464088439941406 × 216)
    floor (0.464088439941406 × 65536)
    floor (30414.5)     		tx = 30414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.249931335449219 × 216)
    floor (0.249931335449219 × 65536)
    floor (16379.5)     		ty = 16379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30414 / 16379 ti = "16/30414/16379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30414/16379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30414 ÷ 216
    30414 ÷ 65536     		x = 0.464080810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16379 ÷ 216
    16379 ÷ 65536     		y = 0.249923706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464080810546875 × 2 - 1) × π
    -0.07183837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22568692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.249923706054688 × 2 - 1) × π
    0.500152587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.5712756957462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22568692} λ = -0.22568692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5712756957462))-π/2
    2×atan(4.81278392726191)-π/2
    2×1.36593136097339-π/2
    2.73186272194678-1.57079632675     		φ = 1.16106640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22568692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.930908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16106640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.524204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30414 KachelY 16379 -0.22568692 1.16106640 -12.930908 66.524204
    Oben rechts KachelX + 1 30415 KachelY 16379 -0.22559105 1.16106640 -12.925415 66.524204
    Unten links KachelX 30414 KachelY + 1 16380 -0.22568692 1.16102820 -12.930908 66.522016
    Unten rechts KachelX + 1 30415 KachelY + 1 16380 -0.22559105 1.16102820 -12.925415 66.522016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16106640-1.16102820) × R
    3.81999999998772e-05 × 6371000     		dl = 243.372199999218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16106640-1.16102820) × R
    3.81999999998772e-05 × 6371000     		dr = 243.372199999218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22568692--0.22559105) × cos(1.16106640) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.398361623690159 × 6371000     		do = 243.314407787357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22568692--0.22559105) × cos(1.16102820) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.398396661526023 × 6371000     		du = 243.33580846899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16106640)-sin(1.16102820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398361623690159-0.398396661526023)×R²
    abs(-0.22559105--0.22568692)×3.50378358639492e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.50378358639492e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.50378358639492e-05×40589641000000     		ar = 59218.5668874632m²