Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30411 / 16893
↖ ↑ ↗
← N 65.373705°
W 12.947387°		 ← 254.51 m → N 65.373705°
W 12.941894°		 →
↑
254.52 m
↓
↑
254.52 m
↓
N 65.371416°
W 12.947387°		 ← 254.54 m →
64 782 m²		 N 65.371416°
W 12.941894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464042663574219 y=0.257774353027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464042663574219 × 216)
    floor (0.464042663574219 × 65536)
    floor (30411.5)     		tx = 30411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257774353027344 × 216)
    floor (0.257774353027344 × 65536)
    floor (16893.5)     		ty = 16893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30411 / 16893 ti = "16/30411/16893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30411/16893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30411 ÷ 216
    30411 ÷ 65536     		x = 0.464035034179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16893 ÷ 216
    16893 ÷ 65536     		y = 0.257766723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464035034179688 × 2 - 1) × π
    -0.071929931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22597454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257766723632812 × 2 - 1) × π
    0.484466552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52199656293678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22597454} λ = -0.22597454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52199656293678))-π/2
    2×atan(4.5813630496207)-π/2
    2×1.35589135955025-π/2
    2.71178271910049-1.57079632675     		φ = 1.14098639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22597454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.947387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14098639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.373705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30411 KachelY 16893 -0.22597454 1.14098639 -12.947387 65.373705
    Oben rechts KachelX + 1 30412 KachelY 16893 -0.22587867 1.14098639 -12.941894 65.373705
    Unten links KachelX 30411 KachelY + 1 16894 -0.22597454 1.14094644 -12.947387 65.371416
    Unten rechts KachelX + 1 30412 KachelY + 1 16894 -0.22587867 1.14094644 -12.941894 65.371416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14098639-1.14094644) × R
    3.99499999998998e-05 × 6371000     		dl = 254.521449999362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14098639-1.14094644) × R
    3.99499999998998e-05 × 6371000     		dr = 254.521449999362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22597454--0.22587867) × cos(1.14098639) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416698033957014 × 6371000     		do = 254.514062923983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22597454--0.22587867) × cos(1.14094644) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416734349970832 × 6371000     		du = 254.536244301079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14098639)-sin(1.14094644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416698033957014-0.416734349970832)×R²
    abs(-0.22587867--0.22597454)×3.63160138187602e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.63160138187602e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.63160138187602e-05×40589641000000     		ar = 64782.1111670763m²