Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30411 / 13173
↖ ↑ ↗
← N 72.625174°
W 12.947387°		 ← 182.39 m → N 72.625174°
W 12.941894°		 →
↑
182.40 m
↓
↑
182.40 m
↓
N 72.623533°
W 12.947387°		 ← 182.41 m →
33 271 m²		 N 72.623533°
W 12.941894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464042663574219 y=0.201011657714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464042663574219 × 216)
    floor (0.464042663574219 × 65536)
    floor (30411.5)     		tx = 30411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201011657714844 × 216)
    floor (0.201011657714844 × 65536)
    floor (13173.5)     		ty = 13173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30411 / 13173 ti = "16/30411/13173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30411/13173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30411 ÷ 216
    30411 ÷ 65536     		x = 0.464035034179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13173 ÷ 216
    13173 ÷ 65536     		y = 0.201004028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464035034179688 × 2 - 1) × π
    -0.071929931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22597454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201004028320312 × 2 - 1) × π
    0.597991943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.87864709611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22597454} λ = -0.22597454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87864709611))-π/2
    2×atan(6.54464459486647)-π/2
    2×1.41917236322595-π/2
    2.8383447264519-1.57079632675     		φ = 1.26754840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22597454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.947387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26754840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.625174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30411 KachelY 13173 -0.22597454 1.26754840 -12.947387 72.625174
    Oben rechts KachelX + 1 30412 KachelY 13173 -0.22587867 1.26754840 -12.941894 72.625174
    Unten links KachelX 30411 KachelY + 1 13174 -0.22597454 1.26751977 -12.947387 72.623533
    Unten rechts KachelX + 1 30412 KachelY + 1 13174 -0.22587867 1.26751977 -12.941894 72.623533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26754840-1.26751977) × R
    2.86299999998629e-05 × 6371000     		dl = 182.401729999127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26754840-1.26751977) × R
    2.86299999998629e-05 × 6371000     		dr = 182.401729999127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22597454--0.22587867) × cos(1.26754840) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.298621505462985 × 6371000     		do = 182.394363395776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22597454--0.22587867) × cos(1.26751977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.298648829000187 × 6371000     		du = 182.411052278131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26754840)-sin(1.26751977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298621505462985-0.298648829000187)×R²
    abs(-0.22587867--0.22597454)×2.73235372013625e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.73235372013625e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.73235372013625e-05×40589641000000     		ar = 33270.5694680947m²