Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30410 / 20235
↖ ↑ ↗
← N 56.526169°
W 12.952881°		 ← 336.92 m → N 56.526169°
W 12.947387°		 →
↑
336.90 m
↓
↑
336.90 m
↓
N 56.523140°
W 12.952881°		 ← 336.95 m →
113 512 m²		 N 56.523140°
W 12.947387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464027404785156 y=0.308769226074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464027404785156 × 216)
    floor (0.464027404785156 × 65536)
    floor (30410.5)     		tx = 30410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308769226074219 × 216)
    floor (0.308769226074219 × 65536)
    floor (20235.5)     		ty = 20235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30410 / 20235 ti = "16/30410/20235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30410/20235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30410 ÷ 216
    30410 ÷ 65536     		x = 0.464019775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20235 ÷ 216
    20235 ÷ 65536     		y = 0.308761596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464019775390625 × 2 - 1) × π
    -0.07196044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22607042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308761596679688 × 2 - 1) × π
    0.382476806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20158632587633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22607042} λ = -0.22607042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20158632587633))-π/2
    2×atan(3.32538788975387)-π/2
    2×1.27868204881379-π/2
    2.55736409762757-1.57079632675     		φ = 0.98656777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22607042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.952881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98656777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.526169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30410 KachelY 20235 -0.22607042 0.98656777 -12.952881 56.526169
    Oben rechts KachelX + 1 30411 KachelY 20235 -0.22597454 0.98656777 -12.947387 56.526169
    Unten links KachelX 30410 KachelY + 1 20236 -0.22607042 0.98651489 -12.952881 56.523140
    Unten rechts KachelX + 1 30411 KachelY + 1 20236 -0.22597454 0.98651489 -12.947387 56.523140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98656777-0.98651489) × R
    5.28799999999219e-05 × 6371000     		dl = 336.898479999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98656777-0.98651489) × R
    5.28799999999219e-05 × 6371000     		dr = 336.898479999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22607042--0.22597454) × cos(0.98656777) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.551556056556636 × 6371000     		do = 336.918833450559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22607042--0.22597454) × cos(0.98651489) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.551600164993815 × 6371000     		du = 336.94577715469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98656777)-sin(0.98651489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551556056556636-0.551600164993815)×R²
    abs(-0.22597454--0.22607042)×4.41084371793909e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.41084371793909e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.41084371793909e-05×40589641000000     		ar = 113511.981545523m²