Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3041 / 5062
↖ ↑ ↗
← S 39.027719°
W 46.362305°		 ← 3 796.03 m → S 39.027719°
W 46.318360°		 →
↑
3 795.14 m
↓
↑
3 795.14 m
↓
S 39.061849°
W 46.362305°		 ← 3 794.20 m →
14 402 991 m²		 S 39.061849°
W 46.318360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37127685546875 y=0.61798095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37127685546875 × 213)
    floor (0.37127685546875 × 8192)
    floor (3041.5)     		tx = 3041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61798095703125 × 213)
    floor (0.61798095703125 × 8192)
    floor (5062.5)     		ty = 5062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3041 / 5062 ti = "13/3041/5062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3041/5062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3041 ÷ 213
    3041 ÷ 8192     		x = 0.3712158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5062 ÷ 213
    5062 ÷ 8192     		y = 0.617919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3712158203125 × 2 - 1) × π
    -0.257568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80917487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617919921875 × 2 - 1) × π
    -0.23583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.740912720527588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80917487} λ = -0.80917487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.740912720527588))-π/2
    2×atan(0.476678642527856)-π/2
    2×0.444817066753516-π/2
    0.889634133507032-1.57079632675     		φ = -0.68116219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80917487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68116219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.027719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3041 KachelY 5062 -0.80917487 -0.68116219 -46.362305 -39.027719
    Oben rechts KachelX + 1 3042 KachelY 5062 -0.80840788 -0.68116219 -46.318360 -39.027719
    Unten links KachelX 3041 KachelY + 1 5063 -0.80917487 -0.68175788 -46.362305 -39.061849
    Unten rechts KachelX + 1 3042 KachelY + 1 5063 -0.80840788 -0.68175788 -46.318360 -39.061849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68116219--0.68175788) × R
    0.000595690000000038 × 6371000     		dl = 3795.14099000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68116219--0.68175788) × R
    0.000595690000000038 × 6371000     		dr = 3795.14099000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80917487--0.80840788) × cos(-0.68116219) × R
    0.000766990000000023 × 0.776841416822776 × 6371000     		do = 3796.0303706987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80917487--0.80840788) × cos(-0.68175788) × R
    0.000766990000000023 × 0.776466175234358 × 6371000     		du = 3794.19675519477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68116219)-sin(-0.68175788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776841416822776-0.776466175234358)×R²
    abs(-0.80840788--0.80917487)×0.000375241588417285×R²
    0.000766990000000023×0.000375241588417285×6371000²
    0.000766990000000023×0.000375241588417285×40589641000000     		ar = 14402991.4703493m²