Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30409 / 20200
↖ ↑ ↗
← N 56.632063°
W 12.958374°		 ← 335.94 m → N 56.632063°
W 12.952881°		 →
↑
335.94 m
↓
↑
335.94 m
↓
N 56.629042°
W 12.958374°		 ← 335.97 m →
112 862 m²		 N 56.629042°
W 12.952881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464012145996094 y=0.308235168457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464012145996094 × 216)
    floor (0.464012145996094 × 65536)
    floor (30409.5)     		tx = 30409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308235168457031 × 216)
    floor (0.308235168457031 × 65536)
    floor (20200.5)     		ty = 20200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30409 / 20200 ti = "16/30409/20200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30409/20200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30409 ÷ 216
    30409 ÷ 65536     		x = 0.464004516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20200 ÷ 216
    20200 ÷ 65536     		y = 0.3082275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464004516601562 × 2 - 1) × π
    -0.071990966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22616629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3082275390625 × 2 - 1) × π
    0.383544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20494190884973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22616629} λ = -0.22616629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20494190884973))-π/2
    2×atan(3.33656524752438)-π/2
    2×1.27960615044935-π/2
    2.55921230089869-1.57079632675     		φ = 0.98841597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22616629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.958374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98841597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.632063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30409 KachelY 20200 -0.22616629 0.98841597 -12.958374 56.632063
    Oben rechts KachelX + 1 30410 KachelY 20200 -0.22607042 0.98841597 -12.952881 56.632063
    Unten links KachelX 30409 KachelY + 1 20201 -0.22616629 0.98836324 -12.958374 56.629042
    Unten rechts KachelX + 1 30410 KachelY + 1 20201 -0.22607042 0.98836324 -12.952881 56.629042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98841597-0.98836324) × R
    5.27300000000563e-05 × 6371000     		dl = 335.942830000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98841597-0.98836324) × R
    5.27300000000563e-05 × 6371000     		dr = 335.942830000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22616629--0.22607042) × cos(0.98841597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550013461885939 × 6371000     		do = 335.941495855286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22616629--0.22607042) × cos(0.98836324) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550057498886025 × 6371000     		du = 335.968393116365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98841597)-sin(0.98836324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550013461885939-0.550057498886025)×R²
    abs(-0.22607042--0.22616629)×4.40370000853729e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40370000853729e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40370000853729e-05×40589641000000     		ar = 112861.654829374m²