Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30409 / 20161
↖ ↑ ↗
← N 56.749711°
W 12.958374°		 ← 334.89 m → N 56.749711°
W 12.952881°		 →
↑
334.92 m
↓
↑
334.92 m
↓
N 56.746699°
W 12.958374°		 ← 334.92 m →
112 168 m²		 N 56.746699°
W 12.952881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464012145996094 y=0.307640075683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464012145996094 × 216)
    floor (0.464012145996094 × 65536)
    floor (30409.5)     		tx = 30409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307640075683594 × 216)
    floor (0.307640075683594 × 65536)
    floor (20161.5)     		ty = 20161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30409 / 20161 ti = "16/30409/20161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30409/20161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30409 ÷ 216
    30409 ÷ 65536     		x = 0.464004516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20161 ÷ 216
    20161 ÷ 65536     		y = 0.307632446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464004516601562 × 2 - 1) × π
    -0.071990966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22616629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307632446289062 × 2 - 1) × π
    0.384735107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2086809870201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22616629} λ = -0.22616629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2086809870201))-π/2
    2×atan(3.34906427867054)-π/2
    2×1.28063281755665-π/2
    2.5612656351133-1.57079632675     		φ = 0.99046931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22616629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.958374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99046931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.749711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30409 KachelY 20161 -0.22616629 0.99046931 -12.958374 56.749711
    Oben rechts KachelX + 1 30410 KachelY 20161 -0.22607042 0.99046931 -12.952881 56.749711
    Unten links KachelX 30409 KachelY + 1 20162 -0.22616629 0.99041674 -12.958374 56.746699
    Unten rechts KachelX + 1 30410 KachelY + 1 20162 -0.22607042 0.99041674 -12.952881 56.746699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99046931-0.99041674) × R
    5.25700000000295e-05 × 6371000     		dl = 334.923470000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99046931-0.99041674) × R
    5.25700000000295e-05 × 6371000     		dr = 334.923470000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22616629--0.22607042) × cos(0.99046931) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.548297444818989 × 6371000     		do = 334.893373617681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22616629--0.22607042) × cos(0.99041674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.548341407479256 × 6371000     		du = 334.920225472909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99046931)-sin(0.99041674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548297444818989-0.548341407479256)×R²
    abs(-0.22607042--0.22616629)×4.39626602669607e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39626602669607e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39626602669607e-05×40589641000000     		ar = 112168.147455878m²