Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30409 / 16053
↖ ↑ ↗
← N 67.227433°
W 12.958374°		 ← 236.42 m → N 67.227433°
W 12.952881°		 →
↑
236.49 m
↓
↑
236.49 m
↓
N 67.225306°
W 12.958374°		 ← 236.44 m →
55 914 m²		 N 67.225306°
W 12.952881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464012145996094 y=0.244956970214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464012145996094 × 216)
    floor (0.464012145996094 × 65536)
    floor (30409.5)     		tx = 30409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244956970214844 × 216)
    floor (0.244956970214844 × 65536)
    floor (16053.5)     		ty = 16053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30409 / 16053 ti = "16/30409/16053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30409/16053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30409 ÷ 216
    30409 ÷ 65536     		x = 0.464004516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16053 ÷ 216
    16053 ÷ 65536     		y = 0.244949340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464004516601562 × 2 - 1) × π
    -0.071990966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22616629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244949340820312 × 2 - 1) × π
    0.510101318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.60253055429848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22616629} λ = -0.22616629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60253055429848))-π/2
    2×atan(4.96558221415228)-π/2
    2×1.37206818664533-π/2
    2.74413637329065-1.57079632675     		φ = 1.17334005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22616629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.958374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17334005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.227433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30409 KachelY 16053 -0.22616629 1.17334005 -12.958374 67.227433
    Oben rechts KachelX + 1 30410 KachelY 16053 -0.22607042 1.17334005 -12.952881 67.227433
    Unten links KachelX 30409 KachelY + 1 16054 -0.22616629 1.17330293 -12.958374 67.225306
    Unten rechts KachelX + 1 30410 KachelY + 1 16054 -0.22607042 1.17330293 -12.952881 67.225306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17334005-1.17330293) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dl = 236.49152000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17334005-1.17330293) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dr = 236.49152000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22616629--0.22607042) × cos(1.17334005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387074160741134 × 6371000     		do = 236.420163463693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22616629--0.22607042) × cos(1.17330293) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387108386917947 × 6371000     		du = 236.441068393905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17334005)-sin(1.17330293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387074160741134-0.387108386917947)×R²
    abs(-0.22607042--0.22616629)×3.42261768135343e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.42261768135343e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.42261768135343e-05×40589641000000     		ar = 55913.8357417232m²