Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30409 / 16051
↖ ↑ ↗
← N 67.231685°
W 12.958374°		 ← 236.38 m → N 67.231685°
W 12.952881°		 →
↑
236.36 m
↓
↑
236.36 m
↓
N 67.229559°
W 12.958374°		 ← 236.40 m →
55 874 m²		 N 67.229559°
W 12.952881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464012145996094 y=0.244926452636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464012145996094 × 216)
    floor (0.464012145996094 × 65536)
    floor (30409.5)     		tx = 30409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244926452636719 × 216)
    floor (0.244926452636719 × 65536)
    floor (16051.5)     		ty = 16051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30409 / 16051 ti = "16/30409/16051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30409/16051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30409 ÷ 216
    30409 ÷ 65536     		x = 0.464004516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16051 ÷ 216
    16051 ÷ 65536     		y = 0.244918823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464004516601562 × 2 - 1) × π
    -0.071990966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22616629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244918823242188 × 2 - 1) × π
    0.510162353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.60272230189696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22616629} λ = -0.22616629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60272230189696))-π/2
    2×atan(4.96653444390786)-π/2
    2×1.37210529363561-π/2
    2.74421058727123-1.57079632675     		φ = 1.17341426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22616629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.958374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17341426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.231685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30409 KachelY 16051 -0.22616629 1.17341426 -12.958374 67.231685
    Oben rechts KachelX + 1 30410 KachelY 16051 -0.22607042 1.17341426 -12.952881 67.231685
    Unten links KachelX 30409 KachelY + 1 16052 -0.22616629 1.17337716 -12.958374 67.229559
    Unten rechts KachelX + 1 30410 KachelY + 1 16052 -0.22607042 1.17337716 -12.952881 67.229559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17341426-1.17337716) × R
    3.70999999999011e-05 × 6371000     		dl = 236.36409999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17341426-1.17337716) × R
    3.70999999999011e-05 × 6371000     		dr = 236.36409999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22616629--0.22607042) × cos(1.17341426) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387005734449831 × 6371000     		do = 236.378369521819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22616629--0.22607042) × cos(1.17337716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387039943251602 × 6371000     		du = 236.399263839568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17341426)-sin(1.17337716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387005734449831-0.387039943251602)×R²
    abs(-0.22607042--0.22616629)×3.42088017710185e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.42088017710185e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.42088017710185e-05×40589641000000     		ar = 55873.8299107887m²