Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30408 / 41752
↖ ↑ ↗
← S 44.182204°
W 12.963867°		 ← 438.06 m → S 44.182204°
W 12.958374°		 →
↑
438.01 m
↓
↑
438.01 m
↓
S 44.186143°
W 12.963867°		 ← 438.03 m →
191 866 m²		 S 44.186143°
W 12.958374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463996887207031 y=0.637092590332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463996887207031 × 216)
    floor (0.463996887207031 × 65536)
    floor (30408.5)     		tx = 30408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637092590332031 × 216)
    floor (0.637092590332031 × 65536)
    floor (41752.5)     		ty = 41752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30408 / 41752 ti = "16/30408/41752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30408/41752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30408 ÷ 216
    30408 ÷ 65536     		x = 0.4639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41752 ÷ 216
    41752 ÷ 65536     		y = 0.6370849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22626217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6370849609375 × 2 - 1) × π
    -0.274169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.861330212373169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22626217} λ = -0.22626217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861330212373169))-π/2
    2×atan(0.422599561099283)-π/2
    2×0.399835698481372-π/2
    0.799671396962744-1.57079632675     		φ = -0.77112493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22626217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77112493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.182204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30408 KachelY 41752 -0.22626217 -0.77112493 -12.963867 -44.182204
    Oben rechts KachelX + 1 30409 KachelY 41752 -0.22616629 -0.77112493 -12.958374 -44.182204
    Unten links KachelX 30408 KachelY + 1 41753 -0.22626217 -0.77119368 -12.963867 -44.186143
    Unten rechts KachelX + 1 30409 KachelY + 1 41753 -0.22616629 -0.77119368 -12.958374 -44.186143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77112493--0.77119368) × R
    6.87499999999508e-05 × 6371000     		dl = 438.006249999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77112493--0.77119368) × R
    6.87499999999508e-05 × 6371000     		dr = 438.006249999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22626217--0.22616629) × cos(-0.77112493) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.717127112115856 × 6371000     		do = 438.05815778419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22626217--0.22616629) × cos(-0.77119368) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.71707919563131 × 6371000     		du = 438.028887928689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77112493)-sin(-0.77119368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717127112115856-0.71707919563131)×R²
    abs(-0.22616629--0.22626217)×4.7916484545385e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.7916484545385e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.7916484545385e-05×40589641000000     		ar = 191865.800858512m²