Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30408 / 20250
↖ ↑ ↗
← N 56.480695°
W 12.963867°		 ← 337.32 m → N 56.480695°
W 12.958374°		 →
↑
337.34 m
↓
↑
337.34 m
↓
N 56.477662°
W 12.963867°		 ← 337.35 m →
113 799 m²		 N 56.477662°
W 12.958374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463996887207031 y=0.308998107910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463996887207031 × 216)
    floor (0.463996887207031 × 65536)
    floor (30408.5)     		tx = 30408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308998107910156 × 216)
    floor (0.308998107910156 × 65536)
    floor (20250.5)     		ty = 20250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30408 / 20250 ti = "16/30408/20250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30408/20250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30408 ÷ 216
    30408 ÷ 65536     		x = 0.4639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20250 ÷ 216
    20250 ÷ 65536     		y = 0.308990478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22626217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308990478515625 × 2 - 1) × π
    0.38201904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20014821888773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22626217} λ = -0.22626217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20014821888773))-π/2
    2×atan(3.32060906324531)-π/2
    2×1.27828521257543-π/2
    2.55657042515086-1.57079632675     		φ = 0.98577410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22626217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98577410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.480695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30408 KachelY 20250 -0.22626217 0.98577410 -12.963867 56.480695
    Oben rechts KachelX + 1 30409 KachelY 20250 -0.22616629 0.98577410 -12.958374 56.480695
    Unten links KachelX 30408 KachelY + 1 20251 -0.22626217 0.98572115 -12.963867 56.477662
    Unten rechts KachelX + 1 30409 KachelY + 1 20251 -0.22616629 0.98572115 -12.958374 56.477662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98577410-0.98572115) × R
    5.29499999999405e-05 × 6371000     		dl = 337.344449999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98577410-0.98572115) × R
    5.29499999999405e-05 × 6371000     		dr = 337.344449999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22626217--0.22616629) × cos(0.98577410) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.55221791294136 × 6371000     		do = 337.323129402813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22626217--0.22616629) × cos(0.98572115) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.552262056572261 × 6371000     		du = 337.350094605081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98577410)-sin(0.98572115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55221791294136-0.552262056572261)×R²
    abs(-0.22616629--0.22626217)×4.41436309005505e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.41436309005505e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.41436309005505e-05×40589641000000     		ar = 113798.63386793m²