Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30408 / 16056
↖ ↑ ↗
← N 67.221053°
W 12.963867°		 ← 236.51 m → N 67.221053°
W 12.958374°		 →
↑
236.49 m
↓
↑
236.49 m
↓
N 67.218926°
W 12.963867°		 ← 236.53 m →
55 934 m²		 N 67.218926°
W 12.958374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463996887207031 y=0.245002746582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463996887207031 × 216)
    floor (0.463996887207031 × 65536)
    floor (30408.5)     		tx = 30408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245002746582031 × 216)
    floor (0.245002746582031 × 65536)
    floor (16056.5)     		ty = 16056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30408 / 16056 ti = "16/30408/16056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30408/16056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30408 ÷ 216
    30408 ÷ 65536     		x = 0.4639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16056 ÷ 216
    16056 ÷ 65536     		y = 0.2449951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22626217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2449951171875 × 2 - 1) × π
    0.510009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.60224293290076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22626217} λ = -0.22626217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60224293290076))-π/2
    2×atan(4.9641542118272)-π/2
    2×1.3720125138575-π/2
    2.744025027715-1.57079632675     		φ = 1.17322870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22626217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17322870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.221053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30408 KachelY 16056 -0.22626217 1.17322870 -12.963867 67.221053
    Oben rechts KachelX + 1 30409 KachelY 16056 -0.22616629 1.17322870 -12.958374 67.221053
    Unten links KachelX 30408 KachelY + 1 16057 -0.22626217 1.17319158 -12.963867 67.218926
    Unten rechts KachelX + 1 30409 KachelY + 1 16057 -0.22616629 1.17319158 -12.958374 67.218926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17322870-1.17319158) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dl = 236.49152000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17322870-1.17319158) × R
    3.71200000000016e-05 × 6371000     		dr = 236.49152000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22626217--0.22616629) × cos(1.17322870) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.387176828451289 × 6371000     		do = 236.507538681226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22626217--0.22616629) × cos(1.17319158) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.387211053027921 × 6371000     		du = 236.528444814515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17322870)-sin(1.17319158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387176828451289-0.387211053027921)×R²
    abs(-0.22616629--0.22626217)×3.42245766323246e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.42245766323246e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.42245766323246e-05×40589641000000     		ar = 55934.4993821414m²