Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30407 / 41748
↖ ↑ ↗
← S 44.166445°
W 12.969360°		 ← 438.13 m → S 44.166445°
W 12.963867°		 →
↑
438.13 m
↓
↑
438.13 m
↓
S 44.170385°
W 12.969360°		 ← 438.10 m →
191 953 m²		 S 44.170385°
W 12.963867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463981628417969 y=0.637031555175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463981628417969 × 216)
    floor (0.463981628417969 × 65536)
    floor (30407.5)     		tx = 30407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637031555175781 × 216)
    floor (0.637031555175781 × 65536)
    floor (41748.5)     		ty = 41748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30407 / 41748 ti = "16/30407/41748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30407/41748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30407 ÷ 216
    30407 ÷ 65536     		x = 0.463973999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41748 ÷ 216
    41748 ÷ 65536     		y = 0.63702392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463973999023438 × 2 - 1) × π
    -0.072052001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22635804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63702392578125 × 2 - 1) × π
    -0.2740478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.860946717176209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22635804} λ = -0.22635804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860946717176209))-π/2
    2×atan(0.422761657080731)-π/2
    2×0.399973224258932-π/2
    0.799946448517863-1.57079632675     		φ = -0.77084988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22635804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.969360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77084988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.166445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30407 KachelY 41748 -0.22635804 -0.77084988 -12.969360 -44.166445
    Oben rechts KachelX + 1 30408 KachelY 41748 -0.22626217 -0.77084988 -12.963867 -44.166445
    Unten links KachelX 30407 KachelY + 1 41749 -0.22635804 -0.77091865 -12.969360 -44.170385
    Unten rechts KachelX + 1 30408 KachelY + 1 41749 -0.22626217 -0.77091865 -12.963867 -44.170385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77084988--0.77091865) × R
    6.87700000000513e-05 × 6371000     		dl = 438.133670000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77084988--0.77091865) × R
    6.87700000000513e-05 × 6371000     		dr = 438.133670000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22635804--0.22626217) × cos(-0.77084988) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.717318778993569 × 6371000     		do = 438.129537400595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22635804--0.22626217) × cos(-0.77091865) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.717270862135143 × 6371000     		du = 438.100270369492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77084988)-sin(-0.77091865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717318778993569-0.717270862135143)×R²
    abs(-0.22626217--0.22635804)×4.79168584255341e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79168584255341e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79168584255341e-05×40589641000000     		ar = 191952.890796403m²