Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30407 / 20167
↖ ↑ ↗
← N 56.731636°
W 12.969360°		 ← 335.05 m → N 56.731636°
W 12.963867°		 →
↑
335.11 m
↓
↑
335.11 m
↓
N 56.728622°
W 12.969360°		 ← 335.08 m →
112 286 m²		 N 56.728622°
W 12.963867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463981628417969 y=0.307731628417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463981628417969 × 216)
    floor (0.463981628417969 × 65536)
    floor (30407.5)     		tx = 30407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307731628417969 × 216)
    floor (0.307731628417969 × 65536)
    floor (20167.5)     		ty = 20167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30407 / 20167 ti = "16/30407/20167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30407/20167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30407 ÷ 216
    30407 ÷ 65536     		x = 0.463973999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20167 ÷ 216
    20167 ÷ 65536     		y = 0.307723999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463973999023438 × 2 - 1) × π
    -0.072052001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22635804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307723999023438 × 2 - 1) × π
    0.384552001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20810574422466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22635804} λ = -0.22635804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20810574422466))-π/2
    2×atan(3.34713830757638)-π/2
    2×1.28047507754278-π/2
    2.56095015508556-1.57079632675     		φ = 0.99015383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22635804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.969360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99015383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.731636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30407 KachelY 20167 -0.22635804 0.99015383 -12.969360 56.731636
    Oben rechts KachelX + 1 30408 KachelY 20167 -0.22626217 0.99015383 -12.963867 56.731636
    Unten links KachelX 30407 KachelY + 1 20168 -0.22635804 0.99010123 -12.969360 56.728622
    Unten rechts KachelX + 1 30408 KachelY + 1 20168 -0.22626217 0.99010123 -12.963867 56.728622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99015383-0.99010123) × R
    5.25999999999582e-05 × 6371000     		dl = 335.114599999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99015383-0.99010123) × R
    5.25999999999582e-05 × 6371000     		dr = 335.114599999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22635804--0.22626217) × cos(0.99015383) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.548561248213799 × 6371000     		do = 335.054501504915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22635804--0.22626217) × cos(0.99010123) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.548605226860565 × 6371000     		du = 335.081363124501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99015383)-sin(0.99010123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548561248213799-0.548605226860565)×R²
    abs(-0.22626217--0.22635804)×4.39786467660852e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39786467660852e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39786467660852e-05×40589641000000     		ar = 112286.156136385m²