Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30406 / 16202
↖ ↑ ↗
← N 66.908526°
W 12.974853°		 ← 239.55 m → N 66.908526°
W 12.969360°		 →
↑
239.55 m
↓
↑
239.55 m
↓
N 66.906371°
W 12.974853°		 ← 239.57 m →
57 387 m²		 N 66.906371°
W 12.969360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463966369628906 y=0.247230529785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463966369628906 × 216)
    floor (0.463966369628906 × 65536)
    floor (30406.5)     		tx = 30406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247230529785156 × 216)
    floor (0.247230529785156 × 65536)
    floor (16202.5)     		ty = 16202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30406 / 16202 ti = "16/30406/16202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30406/16202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30406 ÷ 216
    30406 ÷ 65536     		x = 0.463958740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16202 ÷ 216
    16202 ÷ 65536     		y = 0.247222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463958740234375 × 2 - 1) × π
    -0.07208251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22645391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247222900390625 × 2 - 1) × π
    0.50555419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5882453582117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22645391} λ = -0.22645391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5882453582117))-π/2
    2×atan(4.89515214987663)-π/2
    2×1.36928519767169-π/2
    2.73857039534337-1.57079632675     		φ = 1.16777407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22645391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.974853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16777407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.908526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30406 KachelY 16202 -0.22645391 1.16777407 -12.974853 66.908526
    Oben rechts KachelX + 1 30407 KachelY 16202 -0.22635804 1.16777407 -12.969360 66.908526
    Unten links KachelX 30406 KachelY + 1 16203 -0.22645391 1.16773647 -12.974853 66.906371
    Unten rechts KachelX + 1 30407 KachelY + 1 16203 -0.22635804 1.16773647 -12.969360 66.906371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16777407-1.16773647) × R
    3.7600000000193e-05 × 6371000     		dl = 239.54960000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16777407-1.16773647) × R
    3.7600000000193e-05 × 6371000     		dr = 239.54960000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22645391--0.22635804) × cos(1.16777407) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392200242439331 × 6371000     		do = 239.551111472973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22645391--0.22635804) × cos(1.16773647) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392234829645086 × 6371000     		du = 239.572236915247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16777407)-sin(1.16773647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392200242439331-0.392234829645086)×R²
    abs(-0.22635804--0.22645391)×3.45872057551655e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.45872057551655e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.45872057551655e-05×40589641000000     		ar = 57386.9032352588m²