Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30406 / 16049
↖ ↑ ↗
← N 67.235936°
W 12.974853°		 ← 236.34 m → N 67.235936°
W 12.969360°		 →
↑
236.36 m
↓
↑
236.36 m
↓
N 67.233810°
W 12.974853°		 ← 236.36 m →
55 864 m²		 N 67.233810°
W 12.969360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463966369628906 y=0.244895935058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463966369628906 × 216)
    floor (0.463966369628906 × 65536)
    floor (30406.5)     		tx = 30406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244895935058594 × 216)
    floor (0.244895935058594 × 65536)
    floor (16049.5)     		ty = 16049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30406 / 16049 ti = "16/30406/16049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30406/16049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30406 ÷ 216
    30406 ÷ 65536     		x = 0.463958740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16049 ÷ 216
    16049 ÷ 65536     		y = 0.244888305664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463958740234375 × 2 - 1) × π
    -0.07208251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22645391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244888305664062 × 2 - 1) × π
    0.510223388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.60291404949544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22645391} λ = -0.22645391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60291404949544))-π/2
    2×atan(4.96748685626873)-π/2
    2×1.37214239406574-π/2
    2.74428478813148-1.57079632675     		φ = 1.17348846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22645391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.974853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17348846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.235936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30406 KachelY 16049 -0.22645391 1.17348846 -12.974853 67.235936
    Oben rechts KachelX + 1 30407 KachelY 16049 -0.22635804 1.17348846 -12.969360 67.235936
    Unten links KachelX 30406 KachelY + 1 16050 -0.22645391 1.17345136 -12.974853 67.233810
    Unten rechts KachelX + 1 30407 KachelY + 1 16050 -0.22635804 1.17345136 -12.969360 67.233810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17348846-1.17345136) × R
    3.70999999999011e-05 × 6371000     		dl = 236.36409999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17348846-1.17345136) × R
    3.70999999999011e-05 × 6371000     		dr = 236.36409999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22645391--0.22635804) × cos(1.17348846) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3869373152483 × 6371000     		do = 236.336579910291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22645391--0.22635804) × cos(1.17345136) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.386971525115381 × 6371000     		du = 236.357474878718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17348846)-sin(1.17345136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3869373152483-0.386971525115381)×R²
    abs(-0.22635804--0.22645391)×3.42098670810254e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.42098670810254e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.42098670810254e-05×40589641000000     		ar = 55863.9524240458m²