Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30405 / 42818
↖ ↑ ↗
← S 48.231991°
W 12.980347°		 ← 406.90 m → S 48.231991°
W 12.974853°		 →
↑
406.85 m
↓
↑
406.85 m
↓
S 48.235650°
W 12.980347°		 ← 406.87 m →
165 541 m²		 S 48.235650°
W 12.974853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463951110839844 y=0.653358459472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463951110839844 × 216)
    floor (0.463951110839844 × 65536)
    floor (30405.5)     		tx = 30405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653358459472656 × 216)
    floor (0.653358459472656 × 65536)
    floor (42818.5)     		ty = 42818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30405 / 42818 ti = "16/30405/42818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30405/42818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30405 ÷ 216
    30405 ÷ 65536     		x = 0.463943481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42818 ÷ 216
    42818 ÷ 65536     		y = 0.653350830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463943481445312 × 2 - 1) × π
    -0.072113037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22654979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653350830078125 × 2 - 1) × π
    -0.30670166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.963531682363129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22654979} λ = -0.22654979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.963531682363129))-π/2
    2×atan(0.381543014983586)-π/2
    2×0.364494636540416-π/2
    0.728989273080831-1.57079632675     		φ = -0.84180705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22654979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.980347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84180705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.231991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30405 KachelY 42818 -0.22654979 -0.84180705 -12.980347 -48.231991
    Oben rechts KachelX + 1 30406 KachelY 42818 -0.22645391 -0.84180705 -12.974853 -48.231991
    Unten links KachelX 30405 KachelY + 1 42819 -0.22654979 -0.84187091 -12.980347 -48.235650
    Unten rechts KachelX + 1 30406 KachelY + 1 42819 -0.22645391 -0.84187091 -12.974853 -48.235650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84180705--0.84187091) × R
    6.38600000000267e-05 × 6371000     		dl = 406.85206000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84180705--0.84187091) × R
    6.38600000000267e-05 × 6371000     		dr = 406.85206000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22654979--0.22645391) × cos(-0.84180705) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.666116129447524 × 6371000     		do = 406.89802352486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22654979--0.22645391) × cos(-0.84187091) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.666068498233336 × 6371000     		du = 406.868927927179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84180705)-sin(-0.84187091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666116129447524-0.666068498233336)×R²
    abs(-0.22645391--0.22654979)×4.76312141880486e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76312141880486e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76312141880486e-05×40589641000000     		ar = 165541.380335265m²