Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30405 / 16389
↖ ↑ ↗
← N 66.502312°
W 12.980347°		 ← 243.55 m → N 66.502312°
W 12.974853°		 →
↑
243.50 m
↓
↑
243.50 m
↓
N 66.500122°
W 12.980347°		 ← 243.58 m →
59 308 m²		 N 66.500122°
W 12.974853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463951110839844 y=0.250083923339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463951110839844 × 216)
    floor (0.463951110839844 × 65536)
    floor (30405.5)     		tx = 30405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250083923339844 × 216)
    floor (0.250083923339844 × 65536)
    floor (16389.5)     		ty = 16389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30405 / 16389 ti = "16/30405/16389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30405/16389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30405 ÷ 216
    30405 ÷ 65536     		x = 0.463943481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16389 ÷ 216
    16389 ÷ 65536     		y = 0.250076293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463943481445312 × 2 - 1) × π
    -0.072113037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22654979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250076293945312 × 2 - 1) × π
    0.499847412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.5703169577538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22654979} λ = -0.22654979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5703169577538))-π/2
    2×atan(4.80817193965876)-π/2
    2×1.36574031477527-π/2
    2.73148062955054-1.57079632675     		φ = 1.16068430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22654979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.980347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16068430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.502312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30405 KachelY 16389 -0.22654979 1.16068430 -12.980347 66.502312
    Oben rechts KachelX + 1 30406 KachelY 16389 -0.22645391 1.16068430 -12.974853 66.502312
    Unten links KachelX 30405 KachelY + 1 16390 -0.22654979 1.16064608 -12.980347 66.500122
    Unten rechts KachelX + 1 30406 KachelY + 1 16390 -0.22645391 1.16064608 -12.974853 66.500122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16068430-1.16064608) × R
    3.82199999999777e-05 × 6371000     		dl = 243.499619999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16068430-1.16064608) × R
    3.82199999999777e-05 × 6371000     		dr = 243.499619999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22654979--0.22645391) × cos(1.16068430) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.398712067589247 × 6371000     		do = 243.553856580733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22654979--0.22645391) × cos(1.16064608) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.398747117948942 × 6371000     		du = 243.575267144827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16068430)-sin(1.16064608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398712067589247-0.398747117948942)×R²
    abs(-0.22645391--0.22654979)×3.505035969531e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.505035969531e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.505035969531e-05×40589641000000     		ar = 59307.8782665559m²