Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30404 / 16876
↖ ↑ ↗
← N 65.412589°
W 12.985840°		 ← 254.14 m → N 65.412589°
W 12.980347°		 →
↑
254.20 m
↓
↑
254.20 m
↓
N 65.410303°
W 12.985840°		 ← 254.16 m →
64 605 m²		 N 65.410303°
W 12.980347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463935852050781 y=0.257514953613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463935852050781 × 216)
    floor (0.463935852050781 × 65536)
    floor (30404.5)     		tx = 30404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257514953613281 × 216)
    floor (0.257514953613281 × 65536)
    floor (16876.5)     		ty = 16876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30404 / 16876 ti = "16/30404/16876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30404/16876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30404 ÷ 216
    30404 ÷ 65536     		x = 0.46392822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16876 ÷ 216
    16876 ÷ 65536     		y = 0.25750732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46392822265625 × 2 - 1) × π
    -0.0721435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22664566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25750732421875 × 2 - 1) × π
    0.4849853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.52362641752386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22664566} λ = -0.22664566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52362641752386))-π/2
    2×atan(4.58883609353536)-π/2
    2×1.356230686686-π/2
    2.712461373372-1.57079632675     		φ = 1.14166505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22664566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.985840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14166505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.412589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30404 KachelY 16876 -0.22664566 1.14166505 -12.985840 65.412589
    Oben rechts KachelX + 1 30405 KachelY 16876 -0.22654979 1.14166505 -12.980347 65.412589
    Unten links KachelX 30404 KachelY + 1 16877 -0.22664566 1.14162515 -12.985840 65.410303
    Unten rechts KachelX + 1 30405 KachelY + 1 16877 -0.22654979 1.14162515 -12.980347 65.410303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14166505-1.14162515) × R
    3.98999999999816e-05 × 6371000     		dl = 254.202899999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14166505-1.14162515) × R
    3.98999999999816e-05 × 6371000     		dr = 254.202899999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22664566--0.22654979) × cos(1.14166505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416081005587125 × 6371000     		do = 254.137189541912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22664566--0.22654979) × cos(1.14162515) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416117287425236 × 6371000     		du = 254.159350044904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14166505)-sin(1.14162515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416081005587125-0.416117287425236)×R²
    abs(-0.22654979--0.22664566)×3.62818381117735e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62818381117735e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62818381117735e-05×40589641000000     		ar = 64605.2272200543m²