Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30404 / 16266
↖ ↑ ↗
← N 66.770253°
W 12.985840°		 ← 240.91 m → N 66.770253°
W 12.980347°		 →
↑
240.95 m
↓
↑
240.95 m
↓
N 66.768086°
W 12.985840°		 ← 240.93 m →
58 049 m²		 N 66.768086°
W 12.980347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463935852050781 y=0.248207092285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463935852050781 × 216)
    floor (0.463935852050781 × 65536)
    floor (30404.5)     		tx = 30404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248207092285156 × 216)
    floor (0.248207092285156 × 65536)
    floor (16266.5)     		ty = 16266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30404 / 16266 ti = "16/30404/16266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30404/16266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30404 ÷ 216
    30404 ÷ 65536     		x = 0.46392822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16266 ÷ 216
    16266 ÷ 65536     		y = 0.248199462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46392822265625 × 2 - 1) × π
    -0.0721435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22664566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248199462890625 × 2 - 1) × π
    0.50360107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.58210943506033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22664566} λ = -0.22664566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58210943506033))-π/2
    2×atan(4.86520783442906)-π/2
    2×1.36807854139127-π/2
    2.73615708278254-1.57079632675     		φ = 1.16536076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22664566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.985840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16536076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.770253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30404 KachelY 16266 -0.22664566 1.16536076 -12.985840 66.770253
    Oben rechts KachelX + 1 30405 KachelY 16266 -0.22654979 1.16536076 -12.980347 66.770253
    Unten links KachelX 30404 KachelY + 1 16267 -0.22664566 1.16532294 -12.985840 66.768086
    Unten rechts KachelX + 1 30405 KachelY + 1 16267 -0.22654979 1.16532294 -12.980347 66.768086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16536076-1.16532294) × R
    3.78199999999662e-05 × 6371000     		dl = 240.951219999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16536076-1.16532294) × R
    3.78199999999662e-05 × 6371000     		dr = 240.951219999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22664566--0.22654979) × cos(1.16536076) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394419053467127 × 6371000     		do = 240.906334112692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22664566--0.22654979) × cos(1.16532294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394453807143679 × 6371000     		du = 240.927561233292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16536076)-sin(1.16532294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394419053467127-0.394453807143679)×R²
    abs(-0.22654979--0.22664566)×3.47536765515355e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47536765515355e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47536765515355e-05×40589641000000     		ar = 58049.2324671343m²