Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30402 / 41662
↖ ↑ ↗
← S 43.826601°
W 12.996826°		 ← 440.65 m → S 43.826601°
W 12.991333°		 →
↑
440.68 m
↓
↑
440.68 m
↓
S 43.830564°
W 12.996826°		 ← 440.62 m →
194 178 m²		 S 43.830564°
W 12.991333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463905334472656 y=0.635719299316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463905334472656 × 216)
    floor (0.463905334472656 × 65536)
    floor (30402.5)     		tx = 30402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635719299316406 × 216)
    floor (0.635719299316406 × 65536)
    floor (41662.5)     		ty = 41662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30402 / 41662 ti = "16/30402/41662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30402/41662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30402 ÷ 216
    30402 ÷ 65536     		x = 0.463897705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41662 ÷ 216
    41662 ÷ 65536     		y = 0.635711669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463897705078125 × 2 - 1) × π
    -0.07220458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22683741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635711669921875 × 2 - 1) × π
    -0.27142333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.852701570441559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22683741} λ = -0.22683741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852701570441559))-π/2
    2×atan(0.426261798738934)-π/2
    2×0.402938916691158-π/2
    0.805877833382315-1.57079632675     		φ = -0.76491849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22683741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.996826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76491849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.826601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30402 KachelY 41662 -0.22683741 -0.76491849 -12.996826 -43.826601
    Oben rechts KachelX + 1 30403 KachelY 41662 -0.22674154 -0.76491849 -12.991333 -43.826601
    Unten links KachelX 30402 KachelY + 1 41663 -0.22683741 -0.76498766 -12.996826 -43.830564
    Unten rechts KachelX + 1 30403 KachelY + 1 41663 -0.22674154 -0.76498766 -12.991333 -43.830564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76491849--0.76498766) × R
    6.91699999999518e-05 × 6371000     		dl = 440.682069999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76491849--0.76498766) × R
    6.91699999999518e-05 × 6371000     		dr = 440.682069999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22683741--0.22674154) × cos(-0.76491849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721438803730908 × 6371000     		do = 440.645998122259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22683741--0.22674154) × cos(-0.76498766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.721390903288244 × 6371000     		du = 440.616741117703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76491849)-sin(-0.76498766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721438803730908-0.721390903288244)×R²
    abs(-0.22674154--0.22683741)×4.79004426638951e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79004426638951e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79004426638951e-05×40589641000000     		ar = 194178.344148531m²