Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30402 / 16074
↖ ↑ ↗
← N 67.182740°
W 12.996826°		 ← 236.86 m → N 67.182740°
W 12.991333°		 →
↑
236.87 m
↓
↑
236.87 m
↓
N 67.180610°
W 12.996826°		 ← 236.88 m →
56 108 m²		 N 67.180610°
W 12.991333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463905334472656 y=0.245277404785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463905334472656 × 216)
    floor (0.463905334472656 × 65536)
    floor (30402.5)     		tx = 30402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245277404785156 × 216)
    floor (0.245277404785156 × 65536)
    floor (16074.5)     		ty = 16074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30402 / 16074 ti = "16/30402/16074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30402/16074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30402 ÷ 216
    30402 ÷ 65536     		x = 0.463897705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16074 ÷ 216
    16074 ÷ 65536     		y = 0.245269775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463897705078125 × 2 - 1) × π
    -0.07220458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22683741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245269775390625 × 2 - 1) × π
    0.50946044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.60051720451443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22683741} λ = -0.22683741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60051720451443))-π/2
    2×atan(4.95559481770873)-π/2
    2×1.37167816693709-π/2
    2.74335633387417-1.57079632675     		φ = 1.17256001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22683741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.996826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17256001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.182740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30402 KachelY 16074 -0.22683741 1.17256001 -12.996826 67.182740
    Oben rechts KachelX + 1 30403 KachelY 16074 -0.22674154 1.17256001 -12.991333 67.182740
    Unten links KachelX 30402 KachelY + 1 16075 -0.22683741 1.17252283 -12.996826 67.180610
    Unten rechts KachelX + 1 30403 KachelY + 1 16075 -0.22674154 1.17252283 -12.991333 67.180610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17256001-1.17252283) × R
    3.7180000000081e-05 × 6371000     		dl = 236.873780000516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17256001-1.17252283) × R
    3.7180000000081e-05 × 6371000     		dr = 236.873780000516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22683741--0.22674154) × cos(1.17256001) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387793277686826 × 6371000     		do = 236.859391299322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22683741--0.22674154) × cos(1.17252283) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387827547948885 × 6371000     		du = 236.880323156262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17256001)-sin(1.17252283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387793277686826-0.387827547948885)×R²
    abs(-0.22674154--0.22683741)×3.42702620592661e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.42702620592661e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.42702620592661e-05×40589641000000     		ar = 56108.2584562405m²