Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30402 / 13238
↖ ↑ ↗
← N 72.518232°
W 12.996826°		 ← 183.48 m → N 72.518232°
W 12.991333°		 →
↑
183.48 m
↓
↑
183.48 m
↓
N 72.516582°
W 12.996826°		 ← 183.50 m →
33 668 m²		 N 72.516582°
W 12.991333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463905334472656 y=0.202003479003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463905334472656 × 216)
    floor (0.463905334472656 × 65536)
    floor (30402.5)     		tx = 30402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202003479003906 × 216)
    floor (0.202003479003906 × 65536)
    floor (13238.5)     		ty = 13238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30402 / 13238 ti = "16/30402/13238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30402/13238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30402 ÷ 216
    30402 ÷ 65536     		x = 0.463897705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13238 ÷ 216
    13238 ÷ 65536     		y = 0.201995849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463897705078125 × 2 - 1) × π
    -0.07220458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22683741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201995849609375 × 2 - 1) × π
    0.59600830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.87241529915939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22683741} λ = -0.22683741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87241529915939))-π/2
    2×atan(6.50398651666188)-π/2
    2×1.41823911700403-π/2
    2.83647823400806-1.57079632675     		φ = 1.26568191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22683741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.996826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26568191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.518232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30402 KachelY 13238 -0.22683741 1.26568191 -12.996826 72.518232
    Oben rechts KachelX + 1 30403 KachelY 13238 -0.22674154 1.26568191 -12.991333 72.518232
    Unten links KachelX 30402 KachelY + 1 13239 -0.22683741 1.26565311 -12.996826 72.516582
    Unten rechts KachelX + 1 30403 KachelY + 1 13239 -0.22674154 1.26565311 -12.991333 72.516582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26568191-1.26565311) × R
    2.8800000000162e-05 × 6371000     		dl = 183.484800001032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26568191-1.26565311) × R
    2.8800000000162e-05 × 6371000     		dr = 183.484800001032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22683741--0.22674154) × cos(1.26568191) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300402309354559 × 6371000     		do = 183.482056633517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22683741--0.22674154) × cos(1.26565311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.300429779032499 × 6371000     		du = 183.498834776849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26568191)-sin(1.26565311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300402309354559-0.300429779032499)×R²
    abs(-0.22674154--0.22683741)×2.74696779404837e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.74696779404837e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.74696779404837e-05×40589641000000     		ar = 33667.7077343214m²