Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30400 / 16194
↖ ↑ ↗
← N 66.925755°
W 13.007813°		 ← 239.41 m → N 66.925755°
W 13.002319°		 →
↑
239.42 m
↓
↑
239.42 m
↓
N 66.923602°
W 13.007813°		 ← 239.43 m →
57 322 m²		 N 66.923602°
W 13.002319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463874816894531 y=0.247108459472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463874816894531 × 216)
    floor (0.463874816894531 × 65536)
    floor (30400.5)     		tx = 30400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247108459472656 × 216)
    floor (0.247108459472656 × 65536)
    floor (16194.5)     		ty = 16194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30400 / 16194 ti = "16/30400/16194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30400/16194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30400 ÷ 216
    30400 ÷ 65536     		x = 0.4638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16194 ÷ 216
    16194 ÷ 65536     		y = 0.247100830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4638671875 × 2 - 1) × π
    -0.072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22702916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247100830078125 × 2 - 1) × π
    0.50579833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.58901234860562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22702916} λ = -0.22702916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58901234860562))-π/2
    2×atan(4.89890812476657)-π/2
    2×1.36943555153266-π/2
    2.73887110306532-1.57079632675     		φ = 1.16807478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22702916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16807478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.925755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30400 KachelY 16194 -0.22702916 1.16807478 -13.007813 66.925755
    Oben rechts KachelX + 1 30401 KachelY 16194 -0.22693328 1.16807478 -13.002319 66.925755
    Unten links KachelX 30400 KachelY + 1 16195 -0.22702916 1.16803720 -13.007813 66.923602
    Unten rechts KachelX + 1 30401 KachelY + 1 16195 -0.22693328 1.16803720 -13.002319 66.923602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16807478-1.16803720) × R
    3.75799999998705e-05 × 6371000     		dl = 239.422179999175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16807478-1.16803720) × R
    3.75799999998705e-05 × 6371000     		dr = 239.422179999175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22702916--0.22693328) × cos(1.16807478) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.391923607636026 × 6371000     		do = 239.407115771457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22702916--0.22693328) × cos(1.16803720) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.391958180875241 × 6371000     		du = 239.4282348858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16807478)-sin(1.16803720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391923607636026-0.391958180875241)×R²
    abs(-0.22693328--0.22702916)×3.45732392147968e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.45732392147968e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.45732392147968e-05×40589641000000     		ar = 57321.9017644003m²