Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30400 / 13226
↖ ↑ ↗
← N 72.538023°
W 13.007813°		 ← 183.30 m → N 72.538023°
W 13.002319°		 →
↑
183.29 m
↓
↑
183.29 m
↓
N 72.536374°
W 13.007813°		 ← 183.32 m →
33 599 m²		 N 72.536374°
W 13.002319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463874816894531 y=0.201820373535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463874816894531 × 216)
    floor (0.463874816894531 × 65536)
    floor (30400.5)     		tx = 30400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201820373535156 × 216)
    floor (0.201820373535156 × 65536)
    floor (13226.5)     		ty = 13226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30400 / 13226 ti = "16/30400/13226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30400/13226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30400 ÷ 216
    30400 ÷ 65536     		x = 0.4638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13226 ÷ 216
    13226 ÷ 65536     		y = 0.201812744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4638671875 × 2 - 1) × π
    -0.072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22702916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201812744140625 × 2 - 1) × π
    0.59637451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87356578475027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22702916} λ = -0.22702916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87356578475027))-π/2
    2×atan(6.51147356547764)-π/2
    2×1.41841182648781-π/2
    2.83682365297562-1.57079632675     		φ = 1.26602733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22702916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26602733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.538023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30400 KachelY 13226 -0.22702916 1.26602733 -13.007813 72.538023
    Oben rechts KachelX + 1 30401 KachelY 13226 -0.22693328 1.26602733 -13.002319 72.538023
    Unten links KachelX 30400 KachelY + 1 13227 -0.22702916 1.26599856 -13.007813 72.536374
    Unten rechts KachelX + 1 30401 KachelY + 1 13227 -0.22693328 1.26599856 -13.002319 72.536374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26602733-1.26599856) × R
    2.87699999999003e-05 × 6371000     		dl = 183.293669999365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26602733-1.26599856) × R
    2.87699999999003e-05 × 6371000     		dr = 183.293669999365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22702916--0.22693328) × cos(1.26602733) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.300072825495806 × 6371000     		do = 183.299929561934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22702916--0.22693328) × cos(1.26599856) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.300100269543445 × 6371000     		du = 183.316693799051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26602733)-sin(1.26599856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300072825495806-0.300100269543445)×R²
    abs(-0.22693328--0.22702916)×2.7444047639269e-05×R²
    9.58800000000204e-05×2.7444047639269e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×2.7444047639269e-05×40589641000000     		ar = 33599.2531916379m²