Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30399 / 41785
↖ ↑ ↗
← S 44.312057°
W 13.013306°		 ← 437.05 m → S 44.312057°
W 13.007813°		 →
↑
437.05 m
↓
↑
437.05 m
↓
S 44.315988°
W 13.013306°		 ← 437.02 m →
191 005 m²		 S 44.315988°
W 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463859558105469 y=0.637596130371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463859558105469 × 216)
    floor (0.463859558105469 × 65536)
    floor (30399.5)     		tx = 30399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637596130371094 × 216)
    floor (0.637596130371094 × 65536)
    floor (41785.5)     		ty = 41785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30399 / 41785 ti = "16/30399/41785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30399/41785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30399 ÷ 216
    30399 ÷ 65536     		x = 0.463851928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41785 ÷ 216
    41785 ÷ 65536     		y = 0.637588500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463851928710938 × 2 - 1) × π
    -0.072296142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22712503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637588500976562 × 2 - 1) × π
    -0.275177001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.864494047748093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22712503} λ = -0.22712503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.864494047748093))-π/2
    2×atan(0.421264638509637)-π/2
    2×0.398702513192223-π/2
    0.797405026384446-1.57079632675     		φ = -0.77339130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22712503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.013306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77339130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.312057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30399 KachelY 41785 -0.22712503 -0.77339130 -13.013306 -44.312057
    Oben rechts KachelX + 1 30400 KachelY 41785 -0.22702916 -0.77339130 -13.007813 -44.312057
    Unten links KachelX 30399 KachelY + 1 41786 -0.22712503 -0.77345990 -13.013306 -44.315988
    Unten rechts KachelX + 1 30400 KachelY + 1 41786 -0.22702916 -0.77345990 -13.007813 -44.315988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77339130--0.77345990) × R
    6.85999999999742e-05 × 6371000     		dl = 437.050599999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77339130--0.77345990) × R
    6.85999999999742e-05 × 6371000     		dr = 437.050599999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22712503--0.22702916) × cos(-0.77339130) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.715545742390332 × 6371000     		do = 437.046588327576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22712503--0.22702916) × cos(-0.77345990) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.715497819087246 × 6371000     		du = 437.017317360153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77339130)-sin(-0.77345990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715545742390332-0.715497819087246)×R²
    abs(-0.22702916--0.22712503)×4.7923303085895e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7923303085895e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7923303085895e-05×40589641000000     		ar = 191005.077284243m²