Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30399 / 16961
↖ ↑ ↗
← N 65.217591°
W 13.013306°		 ← 256.03 m → N 65.217591°
W 13.007813°		 →
↑
256.05 m
↓
↑
256.05 m
↓
N 65.215289°
W 13.013306°		 ← 256.05 m →
65 558 m²		 N 65.215289°
W 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463859558105469 y=0.258811950683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463859558105469 × 216)
    floor (0.463859558105469 × 65536)
    floor (30399.5)     		tx = 30399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258811950683594 × 216)
    floor (0.258811950683594 × 65536)
    floor (16961.5)     		ty = 16961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30399 / 16961 ti = "16/30399/16961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30399/16961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30399 ÷ 216
    30399 ÷ 65536     		x = 0.463851928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16961 ÷ 216
    16961 ÷ 65536     		y = 0.258804321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463851928710938 × 2 - 1) × π
    -0.072296142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22712503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258804321289062 × 2 - 1) × π
    0.482391357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51547714458846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22712503} λ = -0.22712503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51547714458846))-π/2
    2×atan(4.55159237647574)-π/2
    2×1.35452901388562-π/2
    2.70905802777124-1.57079632675     		φ = 1.13826170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22712503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.013306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13826170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.217591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30399 KachelY 16961 -0.22712503 1.13826170 -13.013306 65.217591
    Oben rechts KachelX + 1 30400 KachelY 16961 -0.22702916 1.13826170 -13.007813 65.217591
    Unten links KachelX 30399 KachelY + 1 16962 -0.22712503 1.13822151 -13.013306 65.215289
    Unten rechts KachelX + 1 30400 KachelY + 1 16962 -0.22702916 1.13822151 -13.007813 65.215289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13826170-1.13822151) × R
    4.01899999999955e-05 × 6371000     		dl = 256.050489999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13826170-1.13822151) × R
    4.01899999999955e-05 × 6371000     		dr = 256.050489999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22712503--0.22702916) × cos(1.13826170) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419173349849449 × 6371000     		do = 256.025955597969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22712503--0.22702916) × cos(1.13822151) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.419209838261855 × 6371000     		du = 256.048242274013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13826170)-sin(1.13822151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419173349849449-0.419209838261855)×R²
    abs(-0.22702916--0.22712503)×3.64884124059994e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64884124059994e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64884124059994e-05×40589641000000     		ar = 65558.4246496176m²