Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30399 / 16195
↖ ↑ ↗
← N 66.923602°
W 13.013306°		 ← 239.40 m → N 66.923602°
W 13.007813°		 →
↑
239.42 m
↓
↑
239.42 m
↓
N 66.921449°
W 13.013306°		 ← 239.42 m →
57 321 m²		 N 66.921449°
W 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463859558105469 y=0.247123718261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463859558105469 × 216)
    floor (0.463859558105469 × 65536)
    floor (30399.5)     		tx = 30399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247123718261719 × 216)
    floor (0.247123718261719 × 65536)
    floor (16195.5)     		ty = 16195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30399 / 16195 ti = "16/30399/16195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30399/16195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30399 ÷ 216
    30399 ÷ 65536     		x = 0.463851928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16195 ÷ 216
    16195 ÷ 65536     		y = 0.247116088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463851928710938 × 2 - 1) × π
    -0.072296142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22712503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247116088867188 × 2 - 1) × π
    0.505767822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58891647480638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22712503} λ = -0.22712503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58891647480638))-π/2
    2×atan(4.89843847034666)-π/2
    2×1.36941676310127-π/2
    2.73883352620254-1.57079632675     		φ = 1.16803720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22712503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.013306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16803720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.923602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30399 KachelY 16195 -0.22712503 1.16803720 -13.013306 66.923602
    Oben rechts KachelX + 1 30400 KachelY 16195 -0.22702916 1.16803720 -13.007813 66.923602
    Unten links KachelX 30399 KachelY + 1 16196 -0.22712503 1.16799962 -13.013306 66.921449
    Unten rechts KachelX + 1 30400 KachelY + 1 16196 -0.22702916 1.16799962 -13.007813 66.921449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16803720-1.16799962) × R
    3.75800000000925e-05 × 6371000     		dl = 239.42218000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16803720-1.16799962) × R
    3.75800000000925e-05 × 6371000     		dr = 239.42218000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22712503--0.22702916) × cos(1.16803720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.391958180875241 × 6371000     		do = 239.40326323004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22712503--0.22702916) × cos(1.16799962) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.391992753560911 × 6371000     		du = 239.424379803623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16803720)-sin(1.16799962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391958180875241-0.391992753560911)×R²
    abs(-0.22702916--0.22712503)×3.45726856695872e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.45726856695872e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.45726856695872e-05×40589641000000     		ar = 57320.9790763767m²