Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30399 / 13887
↖ ↑ ↗
← N 80.386855°
W 96.506653°		 ← 50.99 m → N 80.386855°
W 96.503907°		 →
↑
51.03 m
↓
↑
51.03 m
↓
N 80.386396°
W 96.506653°		 ← 51 m →
2 602 m²		 N 80.386396°
W 96.503907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.231929779052734 y=0.105953216552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.231929779052734 × 217)
    floor (0.231929779052734 × 131072)
    floor (30399.5)     		tx = 30399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105953216552734 × 217)
    floor (0.105953216552734 × 131072)
    floor (13887.5)     		ty = 13887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30399 / 13887 ti = "17/30399/13887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30399/13887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30399 ÷ 217
    30399 ÷ 131072     		x = 0.231925964355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13887 ÷ 217
    13887 ÷ 131072     		y = 0.105949401855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.231925964355469 × 2 - 1) × π
    -0.536148071289062 × 3.1415926535     		Λ = -1.68435884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105949401855469 × 2 - 1) × π
    0.788101196289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.47589292847628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68435884} λ = -1.68435884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47589292847628))-π/2
    2×atan(11.8923213659066)-π/2
    2×1.48690580661668-π/2
    2.97381161323337-1.57079632675     		φ = 1.40301529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68435884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.506653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40301529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.386855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30399 KachelY 13887 -1.68435884 1.40301529 -96.506653 80.386855
    Oben rechts KachelX + 1 30400 KachelY 13887 -1.68431091 1.40301529 -96.503907 80.386855
    Unten links KachelX 30399 KachelY + 1 13888 -1.68435884 1.40300728 -96.506653 80.386396
    Unten rechts KachelX + 1 30400 KachelY + 1 13888 -1.68431091 1.40300728 -96.503907 80.386396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40301529-1.40300728) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dl = 51.0317099996638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40301529-1.40300728) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dr = 51.0317099996638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68435884--1.68431091) × cos(1.40301529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166994958018758 × 6371000     		do = 50.9939193804038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68435884--1.68431091) × cos(1.40300728) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.167002855534975 × 6371000     		du = 50.9963309819878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40301529)-sin(1.40300728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166994958018758-0.167002855534975)×R²
    abs(-1.68431091--1.68435884)×7.89751621696477e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.89751621696477e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.89751621696477e-06×40589641000000     		ar = 2602.36843974864m²