Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30398 / 16196
↖ ↑ ↗
← N 66.921449°
W 13.018799°		 ← 239.42 m → N 66.921449°
W 13.013306°		 →
↑
239.42 m
↓
↑
239.42 m
↓
N 66.919296°
W 13.018799°		 ← 239.45 m →
57 326 m²		 N 66.919296°
W 13.013306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463844299316406 y=0.247138977050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463844299316406 × 216)
    floor (0.463844299316406 × 65536)
    floor (30398.5)     		tx = 30398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247138977050781 × 216)
    floor (0.247138977050781 × 65536)
    floor (16196.5)     		ty = 16196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30398 / 16196 ti = "16/30398/16196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30398/16196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30398 ÷ 216
    30398 ÷ 65536     		x = 0.463836669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16196 ÷ 216
    16196 ÷ 65536     		y = 0.24713134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463836669921875 × 2 - 1) × π
    -0.07232666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22722090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24713134765625 × 2 - 1) × π
    0.5057373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.58882060100714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22722090} λ = -0.22722090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58882060100714))-π/2
    2×atan(4.89796886095214)-π/2
    2×1.36939797301262-π/2
    2.73879594602524-1.57079632675     		φ = 1.16799962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22722090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.018799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16799962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.921449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30398 KachelY 16196 -0.22722090 1.16799962 -13.018799 66.921449
    Oben rechts KachelX + 1 30399 KachelY 16196 -0.22712503 1.16799962 -13.013306 66.921449
    Unten links KachelX 30398 KachelY + 1 16197 -0.22722090 1.16796204 -13.018799 66.919296
    Unten rechts KachelX + 1 30399 KachelY + 1 16197 -0.22712503 1.16796204 -13.013306 66.919296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16799962-1.16796204) × R
    3.75800000000925e-05 × 6371000     		dl = 239.42218000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16799962-1.16796204) × R
    3.75800000000925e-05 × 6371000     		dr = 239.42218000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22722090--0.22712503) × cos(1.16799962) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.391992753560911 × 6371000     		do = 239.424379803623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22722090--0.22712503) × cos(1.16796204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392027325692986 × 6371000     		du = 239.445496039077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16799962)-sin(1.16796204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391992753560911-0.392027325692986)×R²
    abs(-0.22712503--0.22722090)×3.45721320753056e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.45721320753056e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.45721320753056e-05×40589641000000     		ar = 57326.0348125745m²