Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30396 / 28174
↖ ↑ ↗
← N 24.457150°
W 13.029785°		 ← 555.98 m → N 24.457150°
W 13.024292°		 →
↑
556 m
↓
↑
556 m
↓
N 24.452150°
W 13.029785°		 ← 556 m →
309 131 m²		 N 24.452150°
W 13.024292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463813781738281 y=0.429908752441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463813781738281 × 216)
    floor (0.463813781738281 × 65536)
    floor (30396.5)     		tx = 30396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429908752441406 × 216)
    floor (0.429908752441406 × 65536)
    floor (28174.5)     		ty = 28174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30396 / 28174 ti = "16/30396/28174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30396/28174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30396 ÷ 216
    30396 ÷ 65536     		x = 0.46380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28174 ÷ 216
    28174 ÷ 65536     		y = 0.429901123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46380615234375 × 2 - 1) × π
    -0.0723876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22741265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429901123046875 × 2 - 1) × π
    0.14019775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.440444233709076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22741265} λ = -0.22741265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.440444233709076))-π/2
    2×atan(1.55339713662922)-π/2
    2×0.998827064543169-π/2
    1.99765412908634-1.57079632675     		φ = 0.42685780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22741265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.029785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42685780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.457150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30396 KachelY 28174 -0.22741265 0.42685780 -13.029785 24.457150
    Oben rechts KachelX + 1 30397 KachelY 28174 -0.22731678 0.42685780 -13.024292 24.457150
    Unten links KachelX 30396 KachelY + 1 28175 -0.22741265 0.42677053 -13.029785 24.452150
    Unten rechts KachelX + 1 30397 KachelY + 1 28175 -0.22731678 0.42677053 -13.024292 24.452150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42685780-0.42677053) × R
    8.72700000000282e-05 × 6371000     		dl = 555.997170000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42685780-0.42677053) × R
    8.72700000000282e-05 × 6371000     		dr = 555.997170000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22741265--0.22731678) × cos(0.42685780) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.910271151657765 × 6371000     		do = 555.982486816366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22741265--0.22731678) × cos(0.42677053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.910307279070721 × 6371000     		du = 556.004552998361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42685780)-sin(0.42677053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910271151657765-0.910307279070721)×R²
    abs(-0.22731678--0.22741265)×3.61274129561107e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61274129561107e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61274129561107e-05×40589641000000     		ar = 309130.823803101m²