Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30395 / 20157
↖ ↑ ↗
← N 56.761756°
W 13.035279°		 ← 334.82 m → N 56.761756°
W 13.029785°		 →
↑
334.80 m
↓
↑
334.80 m
↓
N 56.758746°
W 13.035279°		 ← 334.85 m →
112 101 m²		 N 56.758746°
W 13.029785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463798522949219 y=0.307579040527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463798522949219 × 216)
    floor (0.463798522949219 × 65536)
    floor (30395.5)     		tx = 30395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307579040527344 × 216)
    floor (0.307579040527344 × 65536)
    floor (20157.5)     		ty = 20157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30395 / 20157 ti = "16/30395/20157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30395/20157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30395 ÷ 216
    30395 ÷ 65536     		x = 0.463790893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20157 ÷ 216
    20157 ÷ 65536     		y = 0.307571411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463790893554688 × 2 - 1) × π
    -0.072418212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22750853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307571411132812 × 2 - 1) × π
    0.384857177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20906448221706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22750853} λ = -0.22750853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20906448221706))-π/2
    2×atan(3.35034887503825)-π/2
    2×1.28073793541733-π/2
    2.56147587083466-1.57079632675     		φ = 0.99067954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22750853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.035279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99067954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.761756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30395 KachelY 20157 -0.22750853 0.99067954 -13.035279 56.761756
    Oben rechts KachelX + 1 30396 KachelY 20157 -0.22741265 0.99067954 -13.029785 56.761756
    Unten links KachelX 30395 KachelY + 1 20158 -0.22750853 0.99062699 -13.035279 56.758746
    Unten rechts KachelX + 1 30396 KachelY + 1 20158 -0.22741265 0.99062699 -13.029785 56.758746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99067954-0.99062699) × R
    5.25500000000401e-05 × 6371000     		dl = 334.796050000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99067954-0.99062699) × R
    5.25500000000401e-05 × 6371000     		dr = 334.796050000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22750853--0.22741265) × cos(0.99067954) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.548121620846294 × 6371000     		do = 334.820903313932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22750853--0.22741265) × cos(0.99062699) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.548165572838105 × 6371000     		du = 334.847751453178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99067954)-sin(0.99062699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548121620846294-0.548165572838105)×R²
    abs(-0.22741265--0.22750853)×4.39519918105091e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.39519918105091e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.39519918105091e-05×40589641000000     		ar = 112101.210238486m²